线性的代数第四章的习地的题目答案详解

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1、实用标准文档习题四答案(A)1．求下列矩阵的特征值与特征向量:(1)(2)(3)(4)(5)(6)解（1）矩阵的特征多项式为，所以的特征值为．对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值2的全部特征向量为(为任意常数)．对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值4的全部特征向量为(为任意常数)．（2）矩阵的特征多项式为精彩文案实用标准文档，所以的特征值为，，．对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值-1的全部特征向量为(为任意常数)．对于，解对应齐次线性方程组，可

2、得它的一个基础解系为，所以的属于特征值1的全部特征向量为(为任意常数)．对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值3的全部特征向量为(为任意常数)．(3)矩阵的特征多项式为，所以的特征值为，，．对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值1的全部特征向量为(为任意常数)．精彩文案实用标准文档对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值4的全部特征向量为(为任意常数)．对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值-2的全部特征向量为(为任意常数)

3、．(4)矩阵的特征多项式为，所以的特征值为（二重），．对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值1的全部特征向量为(为任意常数)．对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值2的全部特征向量为(为任意常数)．(5)矩阵的特征多项式为，所以的特征值为，（二重）．精彩文案实用标准文档对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值0的全部特征向量为(为任意常数)．对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值2的全部特征向量为(为任意常数)．(6)矩阵的

4、特征多项式为，所以的特征值为，（二重）．对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值6的全部特征向量为(为任意常数)．对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，，所以的属于特征值2的全部特征向量为(为不全为零的任意常数)．2．设为阶矩阵，(1)若，且存在正整数，使得(称为幂零矩阵)，证明:的特征值全为零；(2)若满足(称为幂等矩阵)，证明:的特征值只能是0或1；精彩文案实用标准文档(3)若满足(称为周期矩阵)，证明:的特征值只能是1或．证明：设矩阵的特征值为，对应的特征向量为，即.（1）因，而故.又因，故，

5、得（2）因，而故，即又因，故，得或1.（3）同（2）可得，即又因，故，得或.3．设分别为阶矩阵的属于不同特征值和的特征向量，证明:不是的特征向量．证明：反证法.若是的特征向量，相应的特征值为，则有，即.又因分别为矩阵的属于特征值和的特征向量，即，，则，即.因是矩阵的属于不同特征值的特征向量,故线性无关，于是可得，即，矛盾.4．证明定理4.4.若是阶矩阵的特征值，则(1)设，则是的特征值，其中；精彩文案实用标准文档(2)若可逆，则，且是的特征值，是的伴随矩阵的特征值．证明：设矩阵属于特征值的特征向量为，即.（1）因故是的特征值.（2）因可逆，

6、故.而为的特征值之积，故的特征值.用左乘两端得.因，故，即是的特征值.因，故是的伴随矩阵的特征值．5．证明:矩阵可逆的充分必要条件是的特征值全不等于零．证明：因矩阵可逆，故.由是的全部特征值）得，故.6．已知三阶矩阵的特征值为1，2，3，求的特征值．解：由矩阵的特征值的性质得的特征值为，，；的特征值为；因的特征值为.7．是三阶矩阵，已知，求精彩文案实用标准文档．解：因，故三阶矩阵的全部特征值为－1，2，3.因此的特征值为于是.8．已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，求常数的值．解：因是的特征向量，故也是的特征向量.设对应的特征值为，于是由可得

7、，解得或.9．证明:如果矩阵可逆，则．证明：因，且可逆，则．10．如果，证明：存在可逆矩阵，使得．证明：因，故存在可逆矩阵，使得.将上式两端右乘，得，即.11．如果，，证明:．证明：因，，故存在可逆矩阵，使得.于是有精彩文案实用标准文档.而可逆，故.12．已知为二阶矩阵，且，证明:存在可逆矩阵，使得为对角矩阵．证明：为二阶矩阵，且，故必有两个不等特征值，因此必存在可逆矩阵，使得为对角矩阵．13．已知矩阵与矩阵相似，求(1)常数和的值；(2)可逆矩阵，使得．解：（1）因，故有相同的特征值.而的特征值为，故－1，2也是的特征值.而.将代入上式中

8、得.于是可得，故有的特征值为，因此.（2）由（1）知的特征值为，（二重）．对应的无关特征向量为，对应的无关特征向量为，，令精彩文案实用标准文档，则可逆，且.14．设三阶矩阵的特征