第 9 章 常用算法 he shiyan.doc

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1、第9章常用算法求任意实函数的单实根设任意实函数f(x)=0f(x)是x的非线性或线性函数，求它的单实根的方法很多，如二分法，弦截法，优选法，插值法等，各种方法大同小异。下面介绍弦截法求实函数在给定一个区间[xmin,xmax]中的所有单实根。这种方法求根分两步进行。第一步，判断某个小区间内是否有根存在，其原理是xb=xa+h,自变量从原来的一个初值xa向前跨出一步h,如果在[xa,xa+h]中有根存在，则必有函数值f(xa)与f(xb)异号或f(xb)=0，这时转到第二步，否则将xbàxa，继续第一步的工作。第二步，以(xa,f(xa))和(xb,f(xb

2、))作一直线，得到直线方程:以y=0时的x值x0作为试验根，则，求得f(x0)=y0。如果或，可以认为x0是方程f(x)=0的一个根，如不满足条件，根据y0的符号使得x0àxa，y0àya或x0àxb，y0àyb，继续第二步的操作，直到满足条件。当xb+h>xmax时，搜索过程结束。计算步长选择原则是，保证在一个步长区间内的根不能多于1个互异根（重根除外），否则将造成丢根现象，这就要求h取得较小，但增加计算时间，所以应综合考虑，对周期函数，h应小于周期的1/2。控制精度的大小直接影响求根精度，应根据需要设定，一般可取10-5~10-10，可取0.1。几种常

3、用的数字积分方法（微分方程的数字解）1欧拉法（折线法）t0t1ty(t)hyy(t0)y(t1)图2-5-1t0t1tf(t)ff(t0)图2-5-2h设一阶微分方程由图可知，过（t0,y0）点的斜率为如果离很近，即很小，曲线y(t)可用切线来近似，其切线方程其微分方程在t=t1时，可近似表示为重复上述近似过程，当时，则有一般近似公式如果令，称为计算步矩，则(1)这就是欧拉法数字积分的递推计算公式。由公式可看出，只要我们给出方程的初值（t0,y0）以及相应的步距，逐步进行递推就可获得微分方程的近似数字解。欧拉法的计算是十分简单的，其计算误差正比于，由此，要

4、获得高精度解，必须减小步距，但这使得计算次数增加，又由于计算机的字长有限，h减小得过小，将引入舍入误差，所以此方法的精度提高有限，实际应用中较少采用。1梯形法（预报――校正法）欧拉法精度低，却给我们一些启发，对微分方程可改写成当时，则从此式可以看出，要求得的值，等式右边中含有未知函数，所以不能得到的值，但如果我们用已知的函数值来代替，用不变取代变化的函数，即实际上右边是一个矩形面积则递推公式为用此矩形的面积的算法，其计算误差是显然的（欧拉法），为了提高精度，我们可以用梯形面积来取代矩形的面积，即则递推形式为或应用上式求积分，产生了新的问题，即在计算时，要用

5、，而不知，则是未知的，要获得，通常可用迭代方法，即在与之间迭代多次，使其计算的逐步收敛于，即如果序列极限存在，则当时，，要保证上述极限存在，只要选取h小到一定程度，就能得到满足。当选取一定的满足了收敛条件，但在计算上要迭代多次才认为求得了准确值，迭代次数越多，计算精度越高，但计算工作量加大，所以一般只迭代一次即可，则算法写成(2)上式为预报校正公式。应用梯形近似进行校正求得的值，实际上此方法是将欧拉法与梯形法的结合的一种算法，计算量比欧拉法增加了一倍。1龙格―库塔法(runge-kutta)将梯形法进一步扩展，可以得到经常使用的一种算法。考虑如下的微分方程

6、：(3)设h为步长，即取，则当h取值相对小时，可应用泰劳级数将在处展开，而保留项，即(4)在计算时，为避免求微分，我们设(5)当h很小，在处泰勒展开，有将，代入（5）式得(6)将（6）与（4）比较，可得方程中有四个未知数，则解有无穷多组，可取一个解，选取，则有：,,代入(5)，可得二阶龙格－库塔法的计算公式(7)由于在台劳级数中只保留了以下的项，所以称为二阶龙格－库塔法，此法的截断误差正比于。比较(2)式，这组公式完全一样，其计算工作量完全相同，从而也证明了梯形法的截断误差正比于。如果我们要求更高的计算精度，可保留级数的及以下的项，其此时的截断误差正比于，

7、其公式就是在仿真中用得较广泛的四阶龙格－库塔法，它有多种写法，其中一种为：(8)推导方法与二阶方法相同，但比较麻烦，这里就不再推导了。采用公式（7）和（8），在计算时只用到上一次的值，而与更前的值无关，具有这种计算法称为一步法。在计算中，步长h是可以变化的，其变化范围是可以根据精度要求而定。前面的算法是以一阶一元微分方程而得到的，但一般系统均是高于一阶的，根据控制原理可知，高阶系统的模型可化成n元一次微分方程组的形式，这种模型结构为线性微分方程组：A是一个n×n阶方阵，B是一个n×m阶方阵，y为n阶向量，n是系统的阶数，m为系统的输入个数，u为m阶输入向量

8、，其中对这种方程求解，为使程序设计紧凑，我们引入一个向量和两个矩阵