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《可交换矩阵的几个充要条件性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、.可交换矩阵的几个充要条件及其性质在高等代数中,矩阵是一个重要的内容.由矩阵的理论可知,矩阵的乘法不同于数的乘法,矩阵的乘法不满足交换律,即当矩有意义时,矩阵未必有意义,即使,都有意义时它们也不一定相等.但是当,满足一定条件是,就有,此时也称与是可交换的,可交换矩阵有许多良好的性质,本文主要研究矩阵可交换的几个条件及其常见的性质.本文矩阵均指n阶实方阵.§1矩阵可交换成立的几个充分条件定理1.1(1)设,至少有一个为零矩阵,则,可交换;(2)设,至少有一个为单位矩阵,则,可交换;(3)设,至少有一个为数量矩阵,则,
2、可交换;(4)设,均为对角矩阵,则,可交换;(5)设,均为准对角矩阵,则,可交换;(6)设是的伴随矩阵,则与可交换;(7)设可逆,则与可交换;(8)设,则,可交换.证(1)对任意矩阵,均有,表示零距阵,所以,至少有一个为零矩阵时,,可交换;(2)对任意矩阵,均有,表示单位矩阵，所以,至少有一个为单位矩阵时,,可交换;(3)对任意矩阵,均有,k为任意实数,则为数量矩阵,所以,至少有一个为数量矩阵时,,可交换;(4),(5)显然成立;(6),所以矩阵与其伴随矩阵可交换;(7),所以矩阵与其逆矩阵可交换;(8)当时,,均
3、可逆,且互为逆矩阵,所以根据(7)可知,可交换.定理1.2(1)设,其中,为非零实数,则,可交换,(2)设,其中为正整数,为非零实数,则,可交换.......证(1)由可得,即,故依定理1.1(8)得,于是,所以;(2)由得,故依定理1.1(8)得,于是,所以可得.定理1.3(1)设可逆,若或或,则,可交换;(2)设,均可逆,若对任意实数,均有,则,可交换.证(1)若,由可逆得,从而,故;若,同理可得,故;若,则,故.(2)因,均可逆,故由得可逆,且,则两边取转置可得.或由两边取逆可得.§2矩阵可交换成立的几个充要
4、条件定理2.1下列均是,可交换的充要条件:(1);(2);(3);......(4).证(1)因为,两边同时取伴随矩阵可得;因为,两边同时取伴随矩阵可得;(2)因为,两边取转置可得;因为,两边取转置可得;(3)因为,,所以;同理由,可证,因为,且,所以;同理由,可证;(4)因为,又由条件知,所以;因为,,所以;定理2.2可逆矩阵,可交换的充要条件是.证因为,两边取逆可得;因为,两边取逆可得;定理2.3(1)设,均为(反)对称矩阵,则,可交换的充要条件是为对称矩阵;(2)设,有一个为对称矩阵,另一个为反对称矩阵,则,
5、可交换的充要条件是为反对称矩阵.证(1)设,均为对称矩阵,由定理2.1(2),因此为对称矩阵;若,均为反对称矩阵,则,因此也为对称矩阵.(2)若,中有一个为对称矩阵,不妨设为对称矩阵,则为反对称矩阵,则......因此为反对称矩阵.定理2.4设,均为对称正定矩阵,则,可交换的充要条件是为对称正定矩阵.证充分性由定理2.3(1)可得,下面证明必要性.因,为对称正定矩阵,故有可逆矩阵,,使,,于是,所以为对称正定矩阵,其特征值全为正数.而与相似,从而的特征值也全为正数,因此为对称正定矩阵.§3可交换矩阵的一些性质定义3
6、.1(1)幂等矩阵:若为矩阵,且,则幂等矩阵.(2)幂零矩阵:若为矩阵,且,则为幂零距阵.(3)幂幺矩阵:若为矩阵,且,为单位矩阵,则为幂幺矩阵.性质3.1设,可交换,则有:(1);(2)(矩阵二项式定理).(3),,,其中都是正整数;(4),其中是的多项式,即与的多项式可交换;证(1)对用数学归纳法可证得.当时,明显成立.假设当时,有下证当时结论也成立.......故对一切正整数,结论成立.(2)用数学归纳法当时,,结论成立.假设当时,有下面证当时结论也成立.由得,于是而.所以.故对一切正整数,二项式定理成立.（
7、3）由可得,同理可证,.(4)由(3)可证得.性质3.2设,可交换,(1)若,均为幂等矩阵,则,也为幂等矩阵;(2)若,均为幂零距阵,则,均为幂零距阵;(3)若,均为幂幺矩阵,则也为幂幺矩阵;证(1)由,,,,及即可证得;(2)设,,取,则,即为幂零距阵;令,则,所以为幂零距阵.......(3)由,,,可证得;性质3.3设,可交换,若,分别为阶Hermite正定矩阵和非负定矩阵,则为Hermite非负定矩阵;证因为,所以是Hermite矩阵.又因为,所以存在阶可逆Hermite矩阵使.于是则与具有相同的特征值.由
8、知,故的特征值均为非负数,从而的特征值均为非负数.即.性质3.4(1)与的特征多项式相等,即,从而与的特征值也相同(包括重数也一致).(2)多项式与相等,即.推论3.4.1(1)与的特征多项式相等.(2)与的特征多项式相等.证因为,,由性质3.4可知,所以.同理可证.推论3.4.2(1)与的特征多项式相等.(2)与的特征多项式相等.证(1)因为,.根据性质3
