初中数学竞赛精品标准教程及练习62:绝对值(1)

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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(62)绝对值一、内容提要1.绝对值的定义:正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值是零.用式子表示如下:02X<0022.初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简,方程、不等式的解法,以及函数作图等.解答时,一般是根据定义先化去绝对值符号,这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负,若含有变量的代数式,不能确定其正、负时,则采取零点分区讨论法. 例如:(1)化简解:当x=0, x=2时, =0;当x<0或x>2时, =x(x-2)=x2-2x;当0

2、2时,x=4.∴原方程的解是:x=-2,x=4..(3)作函数y=的图象.解:化去绝对值符号,得y=-2x+2(x<0);y=2(0≤x≤2);y=2x-2(x>2).  分别作出上述三个函数的图象(如图),就是函数y=的图象.3.绝对值的几何意义是:在数轴上一个数的绝对值,就是表示这个数的点离开原点的距离.用这一定义,在解含绝对值符号的方程、不等式时,常可用观察法.例如: ①解方程; ②解不等式; ③

3、解不等式.解:①∵的几何意义是:x是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数,即3和-3, ∴方程的解是x=3,x=-3.②∵的几何意义是:x是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数,∴不等式的解集是 -3<x<3.③∵的零点是x=-2,∴的几何意义是:x是数轴上到点(-2)的距离大于3个单位的点所表示的数,∴的解集是x<-5或x>1.(如下图)1-20--54.绝对值的简单性质: ①绝对值是非负数; ②两个互为相反数,它们的绝对值相等.根据这些性质,可简化函数的作图步骤. 例如:(1)对整个函数都在绝对值符

4、号内时,可先作出不含绝对值符号的图象,再把横轴下方的部份,绕x轴向上翻折作函数图象:①y=        ②y=(2)当f(-x)=f(x),图象关于纵轴对称,这时可先作当x<0时函数图象,再画出关于纵轴对称的图象.例如:y=x2-2-3的图象,可先作y=x2+2x-3自变量x<0时的图象(左半图)再画右半图(与左半图关于纵轴对称).(3)把y=的图象向上平移个单位,所得图象解析式是y=;   把y=的图象向右平移3个单位,所得图象解析式是y=.(4)利用图象求函数最大值或最小值,判断方程解的个数都比较方便.二、例题例

5、1.已知方程=ax+1有一个负根并且没有正根,求a的值.解:当x<0时,原方程为-x=ax+1, x=,  ∴a+1>0.    ∴a>-1;   当x>0时,原方程为x=ax+1,   x=, ∴1-a>0.     ∴a<1.∵方程有一个负根并且没有正根,∴a>-1且a≮1,∴a的取值范围是a≥1.例2.求函数y=2的最小、最大值.解:当x<0时, y=-x+6;当0≤x<3时,y=-3x+6;当x≥3时, y=x-6.根据图象有最低点而没有最高点∴函数没有最大值只有最小值-3(当x=3时).例3. 解方程:①; 

6、  ②.解:①∵点(x)到点A(-2)和点B(4)的距离相等(如下图), ∴x=1.②∵点(x)到点A(-1)与到点B(2)的距离的和等于4,=3∴x=2.5, x=-1.5.                         例4.解不等式:①1≤≤3;   ②.解:①点(x)到点A(-2)的距离大于或等于1而小于或等于3    在数轴上表示如图,∴不等式的解集是: -5≤x≤-3 或-1≤x≤1②点(x)到点(-1)的距离,比到点(2)的距离大1个单位以上.在数轴上表示,如图:∴不等式的解集是x>1.例5. a取什么

7、值时,方程有三个整数解?解:化去绝对值符号,得=±a,=1±a,x-2=±(1±a),∴x=2±(1±a).当a=1时,x恰好是三个解4,2,0.  用图象解答更直观;(1)先作函数y=图象,(2)再作y=a(平行于横轴的直线)与y=图象相交,恰好是三个交点时,y=1,即a=1.本题若改为:有四个解,则01;一个解,则a不存在;无解,则a<0.三、练习621. 方程=4的解是_______.2. 方程=0的解是________.3. 方程=3的解是________.4. 方程=5的解是_

8、______.5. 不等式2≤≤5的解集是___________________. 6. 不等式<5的解集是_______________________. 7. 不等式<3的解集是_______________________. 8. 不等式的解集是_______________________. 9. 已知3-x, 那么___

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