初中数学竞赛精品标准教程及练习33：同一法

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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（33）同一法一、内容提要1.　“同一法”是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题。2.　同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那么它和它的逆命题同时有效。这称为同一法则。　互逆两个命题一般是不等价的。例如原命题：福建是中国的一个省　（真命题）逆命题：中国的一个省是福建　（假命题）　但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。例如原命题：中国的首都是北京　（真命题）逆命题：北京是中国的首都　（真命题）因为世界上只有一个中国，而且中国

2、只有一个首都，所以互逆的两个命题是等效的。又如原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。（真命题）逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。（真命题）　因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所以互逆的两个命题是等效的。3.　釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则，则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是：①作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立）②证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设）二、例题　例1.求证三角形的三条中线相交于一点已知：△ABC中，AD，BE，CF都是中线求证：AD，BE，CF

3、相交于同一点分析：在证明AD和BE相交于点G之后，本应再证明CF经过点G，这要证明三点共线，直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长CG交AB于F，，证明CF，就是第三条中线（即证明AF，＝F，B）证明：∵∠DAB＋∠EBA＜180　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴AD和BE相交，设交点为G　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　连结并延长CG交AB于F，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　连结DE交CF，于M　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵DE∥AB　　　　　　　

4、　　　　　　　　　　　∴＝＝，即＝＝＝，即＝∴＝，∴AF，＝BF，，AF，是BC边上的中线，∵BC边上的中线只有一条，∴AF，和AD是同一条中线∴AD，BE，CF相交于一点G。例2.已知：△ABC中，D在BC上，AB2－AC2＝BD2－DC2求证：AD是△ABC的高分析：从题设AB2－AC2＝BD2－DC2证明结论不易，因为BC边上的高是唯一的，所以拟用同一法，先作出AE⊥BC，证明在题设的条件下AE就是AD。证明：作AE⊥BC交BC于E　　　　　　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　　根据勾股定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A

5、B2－AC2＝（AE2＋BE2）－（AE2＋EC2）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝BE2－EC2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB2－AC2＝BD2－DC2　　　　　　　　B　　　　　　E　D　　C　　　　　　　　　　　　　　　　∴BD2－DC2＝BE2－EC2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（BD＋DC）（BD－DC）＝（BE＋EC）（BE－EC）　∴BD－DC＝BE－E

6、C　①BD＋DC＝BE＋EC　　②①＋②：2BD＝2BE即点D和点E重合，即AD　是△ABC的高　例3如图已知：四边形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝15　　　　　　　　　　　　　　　　∠CBD＝45，∠CDB＝30　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求证：△ABC是等边三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：在BC或延长线上取点E，使BE＝AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　连结AE，DE，则△ABE是等边三角形AE＝AB＝AD，∠EAD＝150－60＝90，∴∠ADE＝45∵∠

7、ADC＝45，且DE，DC在DA的同一侧，∴DE和DC重合，它们与BC边的交点E，C也重合∴△ABC是等边三角形例4.求证：＝1分析：直接证法，一般是把左边写成再化简为1，但没有成功。拟用同一法，可认为要证明的原命题是：有两个数，，它们积是－1，则它们的和是1那么逆命题是：若u+v=1,且uv=－1，则u=,v=　证明：设　u+v=1,且uv=－1，根据韦达定理的逆定理（初三教材）得u,v是方程x2－x－1＝0　的两个根　　　　　x=,即u,v分别等于，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　而u3=（）3＝2＋，