刘九员初等数学研究试卷答案

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1、《初等数学研究》学校班级座号姓名得分一、选择题（3×8=24分）1、既是轴对称图形又是中心对称图形的是（D）.(A)梯形(B)平行四边形(C)弓形(D)矩形2、在△ABC中，∠A=58°，AB﹥BC，则∠B的取值范围是（A）.(A)0°＜∠B＜64°(B)58°＜∠B＜64°(C)58°＜∠B＜122°(D)64°＜∠B＜172°3、直角△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边BC组成的图形是（D）.B′CAA′B(A)一条线段(B)一个锐角△(C)一个钝角△(D)一条线段或一个钝角△4

2、、如图，在△ABC中，∠A﹕∠B﹕∠C=3﹕5﹕10，又△A′B′C≌△ABC，则∠BCA′﹕∠BCB′等于（B）.(A)1﹕2(B)1﹕4(C)1﹕3(D)2﹕35、一个凸多边形，除了一个内角外，其余n－1个内角的和是2005°，则n的值是（C）(A)12(B)13(C)14(D)以上都不对6、设△ABC三边的中点分别为D,E,F,则△ABC与△DEF之间是(C).(A)相似变换(B)位似变换(C)既是相似变换又是位似变换(D)既非相似变换又非位似变换7、设X、Y、Z分别是△ABC三边BC、CA、AB（或其延长线）上的点，则是（C）.(

3、A)AX、BY、CZ三线共点的充要条件；(B)AX、BY、CZ互相平行的充要条件；(C)AX、BY、CZ三线共点或互相平行的充要条件；(D)X、Y、Z三点共线的充要条件.8、在直角三角形中，斜边上的高为6，并且斜边上的高把斜边分成3:2两段，则斜边上的中线长是（A）.(A)(B)(C)(D)二、填空题（3×10=30分）1、将命题“对顶角相等”写成假言命题的形式是_如果两角是对顶角,那么这两角相等2、几何命题的证明方法，从不同的角度考虑，有不同的证法。就命题的结构而言，分为_直接证法与间接证法_；按思维的方向不同，分为_,分析法与综合法,

4、；从推理形式上，分为__归纳法与演绎法._.3、轨迹命题的证明，必须分为__完备性(充分性)_和__纯粹性(必要性)_两个方面。4、初等几何作图限制的工具是__无刻度的直尺与圆规___.5、三角形中的欧拉（Euler）线是指___三角形的外心,重心,垂心所在直线.__.6、欧拉定理是指凸多面体的__顶点数(V)、面数(F)、棱数(V)_之间的关系，其关系式_V＋F－E=2.__.1、已知△ABC三边长a，b，c，对应的三高ha=，hb=，hc= ，则其面积S=_____.2、有两根分别为6cm和8cm的木棒，再截一根木棒制作一个钝角三角形

5、，应截的第三根木棒的长度范围是___10

6、于是FE=AD,类似地,AF=DE,所以ADEF为平行四边形(也可用三角形全等证之).2.3.四边形ADEF不存在,即ADEF退化成一条线段,这时A,D,E,F在一条直线上,此时的∠DAF=180°,∠BAC=360°－(180°＋120°)=60°.所以当∠BAC=60°时,四边形ADEF不存在.四、作图题（本题14分）ABC已知△ABC，在BC边上求作一点P，使AP是PB与PC的比例中项.一、分析：设点P已作出，且AP2=PB·PC，延长AP交△ABC外接圆⊙O于D，则AP·PD=PB·PC，于是AP=PD，即P是弦AD的中点，连结O

7、P，则OP⊥AP，可见P点在以OA为直确径的圆上，又在BC上.作法:作△ABC外接圆⊙O,以OA为直径作圆交BC于P点,P点即为所求.证明:连结AP交⊙O于D,由相交弦定理知AP·PD=PB·PC,而OP⊥AD于P,则P为AD之中点,PD=AP,所以AP2=PB·PC.即P点合于条件.讨论:以OA为直径的圆若与BC相交时,有二解;相切时,有一解;相离时,无解.五、证明题（14分）设函数定义在上，当时，且对于任意，有。又当时,。求证：（1）；（2）对于任意，均有。证明(1)由题设有,从而或.若,则对于任意,有,这与已知矛盾,从而只有成立.(

8、2)由题设及(1)知,当时,;当时,有,从而,但,从而.从而,对于任意,均有.