奥数：五年级奥数.几何.五大模型（b级）.学生版

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1、五大模型(一)知识框架一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；反之，如果，则可知直线平行于．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．三

2、、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①或者②蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①②；③的对应份数为．四、相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型①；②．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方

3、；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则特殊情况：当PQ∥AB时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB例题精讲一、鸟头定理【例1】如图16-4，已知．AE=AC，CD=BC，BF=AB，那么等于多少?【巩固】如图，在中，延长至，使，延长至，使，是的中点，若的面积是，则的面积

4、是多少？二、三角形相似模型【例1】如图，三角形的面积是8平方厘米，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，是的中点，则三角形的面积是平方厘米．【巩固】如图，三角形的面积为60平方厘米，、、分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是平方厘米．【例1】如图，已知,点分别在上，且，则是多少？【巩固】如图，为正方形，且，请问四边形的面积为多少？三、蝴蝶模型【例1】梯形的下底是上底的倍，三角形的面积是，问三角形的面积是多少？【巩固】如图，梯形中，、的面积分别为和，求梯形的面积．【例2】如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．【巩固】如

5、图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积．【例1】在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是平方厘米．【巩固】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．【例2】E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？【巩固】如图所示，、将长方形分成4块，的面积是5平方厘米，的面积是10平方厘米．问：四边形的面积是多少平方厘米？【例1】如图所示，、将长方形分成4块，的面积是4平方厘米，的面积

6、是6平方厘米．问：四边形的面积是多少平方厘米？【巩固】如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为___________平方厘米．【例2】正方形的边长为，是的中点（如图）。四边形的面积为。【巩固】如图，长方形中，是直角三角形且面积为54，的长是16，的长是9．那么四边形的面积是．四、燕尾定理【例1】如右图，面积为的中，，，，求阴影部分面积．【巩固】如图，的面积为1，点、是边的三等分点，点、是边的三等分点，那么四边形的面积是多少？课堂检测【随练1】四个面积为的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【随练2】已知图中每个正六边形的面积都是1，则

7、图中虚线围成的五边形的面积是．家庭作业【作业1】仅用下图这把刻度尺，最少测量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD的面积比。【作业2】如图，正方形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，J为GD的中点，EJ交CD于I。已知正方形ABCD边长为10cm，则图中阴影部分的面积是_____cm2.【作业3】如图，三角形的面积是，，，三角形被分成部分，请写出这部分的面积各是多少?【作业1】如图，，，，，．求．【作业2】如图所