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时间:2018-12-13
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1、第十四讲简单的统筹规化问题 最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象,即要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下,努力争取获得在允许范围内的最佳效益.因此,最优化问题成为现代应用数学的一个重要研究对象,它在生产、科学研究以及日常生活中都有广泛的应用.作为数学爱好者,接触一些简单的实际问题,了解一些优化的思想是十分有益的.例1妈妈让小明给客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟,烧开水要用15分钟.洗茶壶要用1分钟,洗茶杯要用1分钟,拿茶叶要用2分钟.小明估算了一下,完成这些工作要20分钟.为了使客人早点喝上茶,按你认为最合理的安排,多少分钟就能沏茶了?分析本题
2、取自华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》.烧水沏茶的情况是:开水要烧,开水壶要洗,茶壶茶杯要洗,茶叶要取.怎样安排工作程序最省时间呢? 办法甲:洗好开水壶,灌上凉水,放在火上,在等待水开的时候,洗茶杯,拿茶叶,等水开了,沏茶喝. 办法乙:先做好一切准备工作,洗开水壶,洗壶杯,拿茶叶,灌水烧水,坐等水开了沏茶喝. 办法丙:洗开水壶,灌上凉水,放在火上坐待水开,开了之后急急忙忙找茶叶,洗壶杯,沏茶喝. 谁都能一眼看出第一种办法好,因为后两种办法都“窝了工”. 开水壶不洗,不能烧开水,固为洗开水壶是烧开水的先决条件,没开水、没茶叶、不洗壶杯,我们
3、不能沏茶,因而这些又是沏茶的先决条件.它们的相互关系可以用下图的箭头图来显示. 箭杆上的数字表示完成这一工作所需的时间,例如→表示从把水放在炉上到水开的时间是15分钟.从图上可以一眼看出,办法甲总共要16分钟,而办法乙、丙需20分钟. 洗壶杯、拿茶叶没有什么先后关系,而且是由同一个人来做,因此可以将上图合并成下图.解先洗开水壶用1分钟,接着烧开水用15分钟,在等待水开的过程中,同时洗壶杯、拿茶叶,水开了就沏茶,总共用了16分钟.又因为烧开水的15分钟不能减少,烧水前必须用1分钟洗开水壶,所以用16分钟是最少的. 说明:本题涉及到的统筹方法,是生产、建
4、设、工程和企业管理中合理安排工作的一种科学方法,它对于进行合理调度、加快工作进展,提高工作效率,保证工作质量是十分有效的.例2用一只平底锅煎饼,每次能同时放两个饼.如果煎1个饼需要2分钟(假定正、反面各需1分钟),问煎1993个饼至少需要几分钟?分析由于1993数目较大,直接入手不容易.我们不妨先从较小的数目来进行探索规律. 如果只煎1个饼,显然需要2分钟; 如果煎2个饼,仍然需要2分钟; 如果煎3个饼,初学者看来认为至少需要4分钟:因为先煎2个饼要2分钟;再单独煎第3个饼,又需要2分,所以一共需要4分钟.但是,这不是最佳方案.最优方法应该是: 首
5、先煎第1号、第2号饼的正面用1分钟; 其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正面又用1分钟; 最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟;这样总共只用3分钟就煎好了3个饼.解:如果煎1993个饼,最优方案应该是: 煎第1、2、3号饼用“分析”中的方法只需要3分钟;煎后面1990个饼时,每两个饼需要2分钟,分1990÷2=995(次)煎完,共需要2×995=1990(分钟);这样总共需要3+1990=1993(分钟). 说明:通过本例可以看出,掌握优化的思想,合理统筹安排操作程序,就能够节省时间,提高效率.例35个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水,他们打水
6、所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟.如果只有一个水龙头,试问怎样适当安排他们的打水顺序,才能使每个人排队和打水时间的总和最小?并求出最小值.分析5个人排队一共有5×4×3×2×1=120种顺序,把所有情形的时间总和都计算出来,就太繁琐了.凭直觉,应该把打水时间少的人排在前面所费的总时间会省些.考虑用“逐步调整”法来严格求解.解:首先证明要使所费总时间最省,应该把打水时间需1分钟的人排在第一位置. 假如第一位置的人打水时间要a分钟(其中2≤a≤5),而打水需1分钟的人排在第b位(其中2≤b≤5).我们将这两个人位置交换,其他三人位置不变
7、动.这样调整以后第b位后面的人每人排队打水所费的时间与调整前相同,并且前b个人每人打水所费时间也未受影响,但是第二位至第b位的人排队等候的时间都减少了(a-1)分钟,这说明调整后五个人排队和打水时间的总和减少了.换言之,把打水需1分钟的人排在第一位置所费总时间最省. 其次,根据同样道理,再将打水需2分钟的人调整到第二位置;将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到第三、四、五位.所以将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队,所费时间最省.这样得出5人排队和打水时间总和的最小值是 1×5+2×4+3×3+4×2+5×1=35(分钟). 说明:本题涉及到排序不
8、等式,有兴趣的读者可参阅高年级的数学奥林匹克教材.排队提水的问题,
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