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1、精品文档2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则A.B.C.D.2.函数的定义域是A.B.C.D.3.若,,则复数的模是A.2B.3C.4D.54.已知,那么A.B.C.D.5.执行如图1所示的程序框图,若输入的值为3,则输出的值是A.1B.2C.4D.76.某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是精品文档A.B.C.D.7.垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是A.B.C.D.8.设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是A.
2、若,,则B.若,,则C.若,,则D.若,,则9.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为,离心率等于,则C的方程是A.B.C.D.10.设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题:①给定向量,总存在向量,使;②给定向量和,总存在实数和,使;③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是A.1B.2C.3D.4二、填空题:本大题共5小题.考生作答4小题.每小题5分,满分20分.(一)必做题(11~13题)11.设数列是首项为,公比为的等比数列,则12.若曲线在点处的切线平行于
3、轴,则.精品文档13.已知变量满足约束条件,则的最大值是.(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线的参数方程为.15.(几何证明选讲选做题)如图3,在矩形中,,,垂足为,则.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数.(1)求的值;(2)若,求.17.(本小题满分13分)从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:分组(重量)频数(个)5102015(1)根据频数分布表计算
4、苹果的重量在的频率;(2)用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个,其中重量在的有几个?(3)在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在和中各有1个的概率.精品文档18.(本小题满分13分)如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.(1)证明://平面;(2)证明:平面;(3)当时,求三棱锥的体积.19.(本小题满分14分)设各项均为正数的数列的前项和为,满足且构成等比数列.(1)证明:;(2)求数列的通项公式;(3)证明:对一切正整数,有.精品文档20.(本小题满分14分)已知抛物线的顶点为原点,其焦点
5、到直线的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.(1)求抛物线的方程;(2)当点为直线上的定点时,求直线的方程;(3)当点在直线上移动时,求的最小值.21.(本小题满分14分)设函数.(1)当时,求函数的单调区间;(2)当时,求函数在上的最小值和最大值,精品文档参考答案一、选择题1.A2.C3.D4.C5.C6.B7.A8.B9.D10.B11.12.13.14.(为参数)15.16.(1)(2),,.17.(1)重量在的频率;(2)若采用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个,则重量在的个数;(3)设在中抽取的一个苹果为,在中抽取的三个苹果分别为,从抽出的
6、个苹果中,任取个共有种情况,其中符合“重量在和中各有一个”的情况共有种;设“抽出的个苹果中,任取个,求重量在和中各有一个”为事件,则事件的概率;18.(1)在等边三角形中,,在折叠后的三棱锥中精品文档也成立,,平面,平面,平面;(2)在等边三角形中,是的中点,所以①,.在三棱锥中,,②;(3)由(1)可知,结合(2)可得.19.(1)当时,,(2)当时,,,当时,是公差的等差数列.构成等比数列,,,解得,由(1)可知,是首项,公差的等差数列.数列的通项公式为.(3)20.(1)依题意,解得(负根舍去)抛物线的方程为;(2)设点,,,由,即得.精品文档∴抛物线在点处的切线的方程为,即
7、.∵,∴.∵点在切线上,∴.①同理,.②综合①、②得,点的坐标都满足方程.∵经过两点的直线是唯一的,∴直线的方程为,即;(3)由抛物线的定义可知,所以联立,消去得,当时,取得最小值为21.(1)当时,在上单调递增.(2)当时,,其开口向上,对称轴,且过精品文档-kkk(i)当,即时,,在上单调递增,从而当时,取得最小值,当时,取得最大值.(ii)当,即时,令解得:,注意到,(注:可用韦达定理判断,,从而;或者由对称结合图像判断)的最小值,的最大值综上所述,当时,的最小
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