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《泛函分析报告报告材料习地的题目标准详解2003》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、实用标准文案第二章度量空间作业题答案提示1、试问在上，能定义度量吗？答：不能，因为三角不等式不成立。如取则有,而，2、试证明：（1）;(2)在上都定义了度量。证：（1）仅证明三角不等式。注意到故有（2）仅证明三角不等式易证函数在上是单调增加的，所以有,从而有令,令即4.试证明在上，精彩文档实用标准文案定义了度量。证：（1）（因为x,y是连续函数）及显然成立。5.试由Cauchy-Schwarz不等式证明证：8.试证明下列各式都在度量空间和的Descartes积上定义了度量证：仅证三角不等式。（1）略。(2)设，，则精彩文档实用标
2、准文案（3）9、试问在上的是什么？上图像以为中心铅直高为2的开带中的连续函数的集合。10、试考虑并确定使得的最小，其中。精彩文档实用标准文案11．试证明在离散度量空间中，每个子集既是开的又是闭的。设是离散度量空间的任一子集。，开球，故事开集。同样道理，知是开的，故又是闭集。12．设是的聚点，试证明的任何邻域都含有的无限多个点。证：略。13．（1）若度量空间中的序列是收敛的，并且有极限，试证明的每个子序列都是收敛的，并且有同一极限。（2）若是Cauchy序列，并且存在收敛的子序列，，试证明也是收敛的，并且有同一极限。（1）略（2）
3、，，当时，有，（是Cauchy序列且）因此，当时，精彩文档实用标准文案18.试证明：Cauchy序列是有界的.证明：若是Cauchy序列，则存在,使得对于一切,有,因此，对于一切，有19.若和都是度量空间中的Cauchy列，试证明：是收敛的。证：根据三角不等式，有故，同样有：即：而是完备的，则是收敛的。34.若是紧度量空间，并且是闭的，试证明也是紧的。证明：因为是紧的，故中任一序列有一个在中收敛的子序列。不妨设，则有。又因是闭的，所以，因此是紧的。精彩文档实用标准文案精彩文档实用标准文案第三章线性空间和赋范线性空间10.试证明下
4、列都是上的范数（1）；(2);(3);是范数吗？（1）、（2）和（3）的证明略不是范数，不满足三角不等式。以为例，令则13.试证明（1）、和都是的线性空间，其中是收敛数列集；是收敛数列0的数列集；是只有有限个元素的数列集。（2）还是的闭子空间，从而是完备的。（3）不是的闭子空间。证明：（2）设，,使得.则有任意的，使得对于一切，当,时有,又因为，所以当时从而有精彩文档实用标准文案于是，故14.试证在赋范线性空间中，级数的收敛性，并不蕴含级数的收敛性。令，则，且于是，收敛但15.设是赋范线性空间，若级数的绝对收敛性蕴含着级数的收敛
5、性，则是完备的。证：设{X}是X中任一Cauchy列，则kN，n，s.t.当m，nn时，。而且对一切的k，可选取n>n，从而{S}是{S}的一个子列，并且令X=S，X=S-S，则{S}是级数的部分和序列，从而精彩文档实用标准文案于是绝对收敛，故收敛。不妨设SSX，由于{X}是Cauchy列，故又由于{S}是任意的，故证明X是完备的。17.设（X，）和（X，）是赋范线性空间，试证明其Descarts积X=X*X在定义范数=max{，}后也成为赋范线性空间。证：（1）=0==0X=（0,0）=（2）=max{，}=max{，}=（3
6、）设X=（X，X），y=（y，y），则20.（1）若和是X上任意两个等价范数，试证明（X，）和（X，）中的Cauthy序列相同（2）试证明习题10中的三个范数等价精彩文档实用标准文案证：设{X}是（X，）中的任一Cauthy序列，即，N，当n，m>N时，由于和是X上任意两个等价范数，所以存在正数a，b使ab（*）于是当nm>N时，有即x是（X，）中的Cauthy序列。反之，若{x}是（X，）中的Cauthy序列，则由（*）左边不等式，可证{x}是（X，）中的Cauthy序列。（2）R是有限维赋范线性空间，其上的范数都是等价的。2
7、0(2)的直接证明：证明在中，范数、和等价，其中；；证，，故和等价。由Cauchy-Schwart不等式，得，故有精彩文档实用标准文案再有我们得故与等价29.若：是可逆的线性算子，x1,,xn是线性无关的，试正明,,也是线性无关的.证：若存在λ1，，λn∈Ф且不全为零，使得,则由于存在且为线性的，故,与x1,,xn线性无关矛盾。32.若是有界性算子，试证明对满足的任意，都有.思路：由即证结论。33.设Τ：∞→∞使得，试证明证：设，，则精彩文档实用标准文案=从而T是线性算子.,所以.进一步可以证明.37.设使得（1）试求和（2）试
8、问吗？（1）是满足且在上连续可微分的函数构成的的子空间，且。（2）是线性的，但是无界的。事实上，，蕴含着38.在C[0,1]上分别定义和(1)试问S和T是可交换的吗?(2)试求，，和修改，，，精彩文档实用标准文案(1),,故，S和T不是可交换的。(2),所以令，
