本单元的地位与作用.doc

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1、2.1.3函数的单调性一、本单元的地位与作用函数的单调性是函数的重要性质，既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用。定义域值域域概念对应法则列表法函数图像法表示方法解析法单调性奇偶性性质函数的零点一次函数与二次函数二、本单元的知识结构与内容分析本单元的知识点是：函数单调性的概念，包括增函数、

2、减函数的定义和单调区间的概念1.本单元的知识结构：增减函数图像特征增减函数定义和单调区间概念函数单调性增减函数判定方法2.本单元的内容分析：（1）引例的分析：考察函数y=2x,+1的图像，并指出在定义域内的上升与下降情况。y=2x图象法:从左向右看图象的升降情况图像一表明：在整个定义域上函数值y随着x的增加而增加，图像一直上升图像二表明：在y轴右侧随着x的增加，y的值在增加,图像上升；在y轴左侧随着x的增加，y的值在减小，图像下降（2）增减函数的概念分析：对于增减函数的概念分析，主要对增函数概念进行分析，减函数的

3、概念分析可类似给出。一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间MA如果对于区间M内的任意两个值x1,x2，当改变量Δx=x2-x1>0时，都有△y=f(x2)-f(x1)>0，那么就说y=f(x)在区间M上是增函数。M称为y=f(x)的单调增区间。如果对于区间M内的任意两个值x1,x2，当改变量Δx=x2-x1>0时，都有△y=f(x2)-f(x1)<0，那么就说y=f(x)在区间M上是减函数。M称为y=f(x)的单调减区间。如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区

4、间I上具有单调性(区间M称为单调区间).1）地位与作用：函数的单调性是函数的一个重要性质，刻画了两变量之间的相互依存的变化关系，是研究函数时经常要注意的一个性质，并且在比较几个数的大小，对函数作定性分析，以及与其他知识的综合应用上都有着广泛的应用。2）存在性：由引例分析知函数单调性的存在性3）关键词：“任意”二字增减函数概念的理解是一个难点，特别是对“任意”这个词的理解，定义中要求变量有任意性，而不能是特殊值，体现了一般与特殊的辩证关系4）定义方法：关系定义法在增减函数的定义中，当改变量Δx=x2-x1>0时，有

5、△y大于0或小于0，基于这种关系来定义增减函数5）其它相关分析①增函数图像特征：函数值随着自变量的增大而增大，即增函数的图像是上升的减函数图像特征：函数值随着自变量的增大而减小，即减函数的图像是下降的②单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性，在单调性的定义中并没有对区间的端点作要求，定义域只要是区间即可③对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．6）数学符号分析：在上述定义中，Δx表示自变量x的改

6、变量，△y表示因变量y的改变量，引进希腊字母“Δ”，读作“delta”3.例题与习题的分析：（1）例题的分析：利用定义判定(证明)函数的增、减性，这里系统分析例2：例2：证明函数f(x)=1/x，在区间（-∞，0）和(0，+∞)上分别是减函数。yxo例3证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个不相等的正数，且x10△y=f(x1)-f(x2)=由于x1,x2得x1x2>0所以f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)所以f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数同理可证f(x)

7、=1/x在(-∞，0)上也是减函数例题类型：例2是证明题解答该题所需的数学水平：掌握用函数单调性的定义证明函数的增减性的方法，具体方法为：取值、作差、变形、定号、判断过程与求解方法分析：1）例2难度较大，学生难以从中归纳出判断(证明)方法及步骤，因而教师有必要先详细讲解，通过分析、引导学生抽象、概括出方法及步骤，提示学生注意证明过程的规范性及严谨性。同时说明数学题型间的转化关系，使学生体验数学中的艺术美。归纳判定(证明)方法并加以比较说明；使学生突破本节的难点，掌握重点内容。2）由例2图象知：函数在(-∞，+∞)

8、上不具有单调性。不能说函数f(x)=1/x在（－∞，＋∞）上是减函数，也不能说f(x)=1/x在（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数。即函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数，可以说单调性是函数的“局部”性质例题目的：通过此题的辅导、讲解，强化解题步骤，形成并提高解题能力。调动学生参与讨论，形成生动活泼的学习氛围，从而培养