2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析.doc

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1、2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析1.已知极限，其中k，c为常数，且，则（）A.B.C.D.答案（D）解析：用洛必达法则因此，即2.曲面在点处的切平面方程为（）A.B.C.D.答案（A）解析：法向量切平面的方程是：，即。3.设，，令，则（）A.B.C.D.答案（C）解析：根据题意，将函数在展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：，它的傅里叶级数为，它是以2为周期的，则当且在处连续时，。。4.设，，，为四条逆时针方向的平面曲线，记，则A.B.C.D答案（D）解析：由格林公式，,在内，

2、因此在外，所以5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（）A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价6.矩阵与相似的充分必要条件为（）A.B.为任意常数C.D.为任意常数7.设是随机变量，且，，，，则（）A.B.C.D8.设随机变量,，给定，常数c满足，则()（9）设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y)确定，则＝　。(10)已知y1=e3x–xe2x，y2=ex–xe2x，

3、y3=–xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解y=　　。（11）设　　。（12）　　　。（13）设A=(aij)是3阶非零矩阵，为A的行列式，Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i，j=1,2,3），则｜A｜＝　　　。（14）设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则P{Y≤a+1

4、Y＞a}=三．解答题：（15）（本题满分10分）计算，其中f(x)＝解：使用分部积分法和换元积分法(16)(本题10分)设数列｛an｝满足条件：S（x）是幂级数（1）证明：（2）求

5、(I)证明：由题意得即(II)解：为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为从而，于是，由，得所以（17）（本题满分10分）求函数.解答：先求驻点，令，解得为了判断这两个驻点是否为极值点，求二阶导数在点处，因为,所以不是极值点。类似的，在点处，因为，所以是极小值点，极小值为(18)(本题满分10分)设奇函数f(x)在上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：（I）存在（Ⅱ）存在19.(本题满分10分)设直线L过A（1,0,0），B（0,1,1）两点将L绕z轴旋转一周得到曲面，与平面所围成的立体为。（1）求曲面的方程；

6、（2）求的形心坐标。解：20.（本题满分11分）设，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。第20题解：令，则，则由得，此为4元非齐次线性方程组，欲使存在，此线性方程组必须有解，于是所以，当时，线性方程组有解，即存在，使。又,所以21.（本题满分11分）设二次型，记，。（1）证明二次型f对应的矩阵为；（2）若正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为。证明：（3）22.（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为令随机变量（1）求Y的分布函数；（2）求概率.23.(本题满分11分)设总

7、体X的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体X的简单随机样本。（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量。