竞赛模拟试卷上犹中学奥数辅导组

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1、2009年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷(2009年3月22日星期日上午8:30~10:30)【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题(本题满分60分,前4小题每小题7分,后4小题每小题8分)1.设,则的最小值是。2.已知,且,则将表示成的函数,其解析式是。3.已知函数,若,且,则的取值范围是。4.满足方程的所有实数对。5.若表示不超过实数的最大整数,则方程的解是。6.不等式的解集是。7.设是由不超过的所有正整数构成的集合,即,集合,且中任意两个不同元素之差都不等于,则集合元素个数的最大可能值是。8.给出

2、一个凸边形及其所有对角线,在以该凸边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中,至少有两个顶点是该凸边形顶点的三角形有个。二、解答题9.(本题满分14分)设函数定义于闭区间,满足,且对任意,都有,其中常数满足,求的值。10.(本题满分14分)如图,是双曲线的右顶点,过点的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点,问直线是否一定过轴上一定点?如果不存在这样的定点,请说明理由;如果存在这样的定点试求出这个定点的坐标。11.(本题满分16分)设是集合的两个不同子集,使得不是的子集,也不是的子集,求不同的有序集合对

3、的组数。12.(本题满分16分)设正整数构成的数列使得对一切恒成立。记该数列若干连续项的和为,其中,且。求证:所有构成的集合等于。答案:一、1、;2、;3、;4、5、或;6、;7、;8、。二、9、解:因为,所以8分由此得,而,所以14分10、解法一:,将轴向右平移个单位,使点成为新直角坐标系的原点,在新坐标系下,双曲线的方程为,即(*)若轴,则,即,代入(*)式可得,进而。所以,则点在原坐标系中的坐标为。5分若不垂直轴,设,则,于是(*)可以改写成,即该方程的两个根既是的斜率。因为,所以,10分所以,故所以过

4、定点,则点在原坐标系中的坐标为。综上所述,直线过轴上的定点14分解法二:设直线的斜率为由,同理得当时,,所以过8分当时,由直线的方程得,10分所以,直线过轴上的定点14分11、解:集合有个子集,不同的有序集合对有组。2分若,并设中含有个元素,则满足的有序集合对有组8分同理,满足的有序集合对也有组。10分所以,满足条件的有序集合对的组数为组。16分12、证明:显然2分下证对任意,存在用表示数列的前项和,考虑个前项和:(1)由题设6分另外,再考虑如下个正整数:(2)显然10分这样(1),(2)中出现个正整数,都不

5、超过,由抽屉原理,必有两个相等。由于(1)式中各数两两不相等,(2)式中各数也两两不等,故存在,使得,即,且所以,所有构成的集合等于。16分

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