奥数中的巧数图形讲义及习题

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1、数学竞赛中常遇到数图形问题。这类问题一般都要先寻求规律，而后按照这个规律去数图形。数图形时要有次序、有条理，才能不遗漏、不重复。　　因此，一般步骤应是：仔细观察、发现规律、应用规津。运用规律常能使解法简便。例1下面两根线段中各有多少条线段？解（1）由一条基本线段构成的线段有：　　AB、BC、CD、DE，共4条；　　由两条基本线段构成的线段有：　　AC、BD、CE，共3条；　　由三条基本线段构成的线段有：　　AD、BE，共2条；　　由四条基本线段构成的线段只有AE1条。　　因此共有线段：　　　　4

2、+3+2+1　　=（4+1）×4÷2　　=10（条）　　（2）可以采用（1）同样的解法：　　由一条基本线段组成的线段有6条，　　由两条基本线段组成的线段有5条，　　由三条基本线段组成的线段有4条，　　由四条基本线段组成的线段有3条，　　由五条基本线段组成的线段有2条，　　由六条基本线段组成的线段有1条，　　共有线段：　　　6+5+4+3+2+1　　=（6+1）×6÷2　　=21（条）答（1）中有10条线段。（2）中有21条线段。　　这种先分类再排序的方法称为分类排序法。这样排序，不易遗漏和重复。

3、　　由以上例子可以推知，如果线段上有五个点，就构成了四条基本线段，总线段数为四个连续自然数的和：4+3+2+1。如果有n个点，线段总数为（n-1）+（n-2）+…+3+2+1=n×（n-1）÷2（条）。找到了这个规律，我们就可以运用这个公式来解答这类问题。例2在∠AOB（图6－2）内有8条从O点引出的射线，可组成各种大小不同的角一共有多少个？解这问题类似于例1，　　10×9÷2=45（个）答图中有45个角。解3数一数，图6－3一共有几个长方形？分析可以按照顺序去数长方形的个数，也可以通过分析研究

4、，找出数长方形的规律。长方形是由长和宽组成的，　　图中共有3个长（横向线段）、3个宽（竖向线段），解　　3×3＝9（个）答图中共有9个长方形。　　这一类型的问题在后面还要专门讨论。例4如图6－4。　　（1）如上图这样的形状，如果最底层有11个三角形，那么这堆小三角形共有多少个？　　（2）现在共有169个小三角形，按上图排列，那么最底层三角形有几个？分析根据图示可以得到规律，底层与总数有“2→4，3→9，4→16”的关系。而22＝4，33=9，44＝16，就是：“底层的个数的平方正好等于总数”。所

5、以可得：　　（1）下层有11个小三角形，共有　　11×11=121（个）　　（2）因为13×13＝169，所以169个小三角形如上图排列，底层有13个小三角形。练    习　　1．线段AB上除两端外有49个点，问这条线段上共有多少条线段？　　2．下图中共有多少个三角形？　　3．把长2厘米、宽1厘米的长方形硬纸片按照下图一层层叠起来。　　（1）如果叠5层，周长是（）厘米。　　（2）如果周长是120厘米，共有（）层。　知识要点：数图形时我们要按照一定的顺序、有条理、有计划、有方法的去解答题目，可由单

6、个图形数起，再数两个图形合成的图形，依此规律一个一个往下数。 ｛例1｝数一数图中共有几条线段？                      D         AB           C这样想：数之前，先将每条线段写上字母，写好后，先数AB这条线段上有4条小线段，再数两条合并成的有3条，再数三条合并成的有2条，最后数四条合并成的有1条，4+3+2+1=10条。同样CD这条线段上也有10条，和起来一共有20条。｛例2｝数一数图中共有几个小长方体？               这样想：从上面先数，第

7、一排有2个小长方体，再数第二排有4个小长方体，最后数第三排有6个小长方体，所以2+4+6=12，有12个小长方体。｛例3｝数一数图中共有几个三角形？           这样想：数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单个三角形共10个。再数两个图形合成的三角形，按顺序两个两个合并，共8个三角形。所以10+8=18，共18个三角形。｛例4｝数一数图中共有几个三角形？             这样想：先数单个三角形共4个。再数两个三角形合成的三角形，按顺序两个两个合并，共2个三角形。最后数由3个小三

8、角形组成的大三角形，有1个。所以4+2+1=7，共7个三角形。｛例5｝数一数图中共有几个三角形？           这样想：先数每个角上三角形共5个，再数由两个不靠着的角和中间五边形合成的三角形，按顺序数共3个三角形，所以5+3=8，共8个三角形。知识要点：同学们，在数图形时，一定要按顺序仔细数，如果给图形编个号，这样数起来就更方便，不会重复，也不会遗漏。｛例1｝数一数图中共有几个三角形？         这样想：数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单个三角形1、4、3号，共3个。再数两个图