在任意波形激励作用下动态电路的响应与卷积积分

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1、在任意波形激励作用下动态电路的响应与卷积积分摘要本文通过对几种电路的的具体时域的分析，导出了用卷积积分进行动态电路的时域分析的方法，从而避免了繁琐的解微分方程带来的麻烦，使对这样的一类电路的分析更简便易用。关键字：波形激励动态电路响应卷积积分Basedonthespecifictimeofseveralcircuitanalysis,thedynamiccircuitwithconvolutionintegratingthetime-domainanalysismethod，soastoavoidthetrivalsolutionofdifferentialequation,maketro

2、ubleforthistypeofcircuitanalysisismoreeasytouse.Keywords:TheDynamicCircuitResponsewaveformconvolutionintegral引言：本论文讨论了卷积积分，提出了卷积积分的概念，说明了卷积积分的算法，并且列出了卷积积分的性质及其证明，给出了与阶跃函数或冲击函数的卷积计算并证明。在分析一阶动态电路的过程中，分别讨论了RC与RL电路的零输入响应、零状态响应、全响应、阶跃响应和冲激响应；随后对二阶动态电路的讨论与分析，着重讨论了它的激励响应的初始条件以及RCL的串联电路的激励响应。我们给定变量的初始条件和一

3、、二阶电路的响应，可以通过线性微分方程的两部分解、互补函数和特定解求出我们的待求量，但是我们更可以通过卷积积分这种比较简便的方法去求解电路问题中的各种待求量，这样会简化相当复杂的计算过程。此论文通过举例应用卷积积分解决电路问题，进而讨论了卷积积分这种数学工具来解决动态电路中的激励响应的若干问题的方法，总结了用卷积积分解决动态电路的一般步骤。I、卷积积分1、卷积积分的运算方法(1)卷积积分定理：任一LTIS对任意激励信号f(t)的零状态响应应该等于该激励信号与电路系统冲击响应的卷积积分。即：(t)=£r)dr=^f(t-r)/z(r)Jr=/(z)*/?(r)(2)卷积积分的物理意义及原理对

4、于LEI系统，冲激响应h(t)是系统在单位冲激信号的激励下产生的零状态响应。由于信号可以用•的组合表示，B「J:c£/(rW-r)々，将e⑴作用到冲激响应为h⑴的LTI的系统，则系统的响应为(1)式，这就是卷积。其物理意义是描述系统的零状态响应r(t)。=Te(r)H[6(t-T)]dr=f°e(r)h(t-r)drJ—ooJ—O0卷积的原理就是将信号分解为之和，借助系统的冲激响应h(t)，求解系统对任意激励信号的零状态响应。(1)卷积运算方法探讨①分段卷积积分法用此法进行卷积分，数学概念清楚，函数运算简单，适合任何两个信号的卷积运算，注意分清上下限。例：r<3./(0V(0=03

5、,/(0*/(?)=flx2dr=2t-612Jz6(r-r)所确定的门限，很容易将门的上下限分别确定为积分10的上限(r-r)，下限(z)，积分后各函数的定义域的下限只需由积分的10上限减去下限.，后即可。它除了适用于分段函数的卷积外，还适用于连续函数波形。2、卷积积分的性质及丼证明：作为一种数学运算，卷积运算遵守代数运算的某些规律。(1).交换律：=证明：由卷积积分的定义有：=JOifr访》-o*将式中积分变量r置换为,于是/,»*AW=这表明卷

6、积结果与两函数的次序无关。(2).分配律Z⑺*W«+/i©]=Z«，地+/i«证明：由卷积积分的定义有：Jiwwh测=£>iww(卜o-/j—0讲=[/iCW卜r>fr+仁你)/3(卜=/iWV2«+ZiW*/5(O实际上这个结果也是线性系统叠加特性的体现。若AW和AW为激励，为系统的冲激响应，则系统对的零状态响应等于系统对AW和AW分别作用下的零状态响应之和。反过来，若ZW为激励，为系统的冲激响应，则该系统对激励ZW的零状态响应可看作是两个并联子系统与AW在激励ZW作用下的零状态响应的叠加f2⑴。(3).结合律:U5«*J«0]*X的=Z«*L«C*/，(切证明：由卷积定义有先交换上式的

7、积分次序，再将7_『置换为*，则=-«■-xX&lrf^=ZW1/iW*/,«]苴中/nW=f^/aW/i奴即：TWO=£>(⑽-抽=Z,(D»Z,W3、与冲击函数或阶跃函数的卷积(1)与冲击函数的卷积：/(W⑴=/(z)抽样性证明：/(0*卯)=「/⑺卯-r)drJ—co=rf⑽(T-t)dTJ—oo或写为j*/(r-r)*6(r)dr=f(t)J—oo推论：/(r)^(r-z0)=/(r-z0)(2)与阶跃函数的卷积