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1、《微积分初步》辅导9----积分的应用积分的几何应用定积分的元素法再看曲边梯形的面积:设y=f(x)³0(xÎ[a,b]).如果说积分,是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f(x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值DA»f(x)dx,f(x)dx称为曲边梯形的面积元素.以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间的定积分:.一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在
2、[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).定积分在几何上的应用一、平面图形的面积直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成,则面积元素为[f上(x)-f下(x)]dx,于是平面图形的面积为.类似地,由左右两条曲线x=j左(y)与x=j右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成设平面图形的面积为.例1计算
3、抛物线y2=x、y=x2所围成的图形的面积.解(1)画图.(2)确定在x轴上的投影区间:[0,1].(3)确定上下曲线:.(4)计算积分.例2计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积.解(1)画图.(2)确定在y轴上的投影区间:[-2,4].(3)确定左右曲线:.(4)计算积分.例3求椭圆所围成的图形的面积.解设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍,椭圆在第一象限部分在x轴上的投影区间为[0,a].因为面积元素为ydx,所以.椭圆的参数方程为:x=acost,y=bsint,于是.二、体积旋转体的体积旋转体
4、就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做旋转轴.常见的旋转体:圆柱、圆锥、圆台、球体.旋转体都可以看作是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、a=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体.设过区间[a,b]内点x且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V(x),当平面左右平移dx后,体积的增量近似为DV=p[f(x)]2dx,于是体积元素为dV=p[f(x)]2dx,旋转体的体积为.例1连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高
5、为h的圆锥体.计算这圆锥体的体积.解:直角三角形斜边的直线方程为.所求圆锥体的体积为.例2.计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积.解:这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.体积元素为dV=py2dx,于是所求旋转椭球体的体积为.例3计算由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱,直线y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.解所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为=5p2a3.所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差
6、.设曲线左半边为x=x1(y)、右半边为x=x2(y).则=6p3a3.微分方程学习目标：理解微分方程的概念；掌握可分离变量微分方程和一阶线性微分方程的解法.内容介绍在研究物理、几何以及其他许多实际问题时，常常需要寻求与问题有关的变量之间的函数关系，这种函数关系有时可以直接建立，有时却只能根据一些基本科学原理，建立所求函数及其变化率之间的关系式，然后再从中解出所求函数，这种关系就是本章我们将要学习的微分方程.1676年，伯努利（Bernoulli）致牛顿（Newton）的信中第一次提出微分方程，直到18世纪中期，微分方程才成
7、为一门独立的学科.微分方程建立后，立即成为探索现实世界的重要工具，在这里我们主要讨论微分方程的基本概念，并介绍可分离变量微分方程和一阶线性微分方程的解法.§1微分方程的基本概念不定积分的方法告诉我们.一个函数的导数如果是已知的，就可能求出这个函数，现在进一步的讨论，假如只知道函数的导数所满足的一个关系式，能否确定这个函数呢？这就是微分方程所要研究和解决的问题.首先我们来看两个例子：例1[曲线方程]已知曲线过点，且曲线上任一点处切线的斜率为，求此曲线方程.解设曲线方程为，由已知条件对上式两边积分，得又由已知条件：曲线过点，即，
8、代入上式，得即故所求曲线方程为例2[自由落体运动]一质量为的质点，在重力作用下自由下落，求其运动方程.解建立坐标系如图1所示，坐标原点取在质点开始下落的点，轴铅直向下.设在时刻质点的位置为，由于质点只受重力作用，且力的方向与轴正向相同，故有牛顿图1第二定律，得质点满足方程为即上市式两边再同
