《函数的最大（小）值与导数》教案.doc

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1、《函数的最大(小)值与导数》教案【教学目标】1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点（包括端点）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤．【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法．【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．【教学过程】一、复习回顾：1．极值的概念：极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极

2、大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点．极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)．就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点．2．判断函数的极值的方法：解方程.当时：（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值.3．求可导函数f(x)的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′(x)；（2）求方程f′(x)=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间

3、分成若干小开区间，并列成表格．检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值．二、新知探究：1．函数的最大值和最小值观察右图中一个定义在闭区间上的函数的图象，你能找出它的极大值点，极小值点吗？图中极大值点是：，极小值点是：．函数在上的最大值是，最小值是．一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．说明：⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内

4、连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出

5、函数在上的最值．三、讲解范例：例1、求函数在[0,3]上的最大值，最小值.x0(0,2)2(2,3)3f′(x)－0＋f(x)12-43变式练习：求函数在区间[-1,1]上的最值.（最大值:2，最小值:-12）例2、已知函数;(1)求f(x)的单调递减区间；（答案：）(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.（答案：-7）四、课堂小结：⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；⑵函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而

6、非必要条件；⑶闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．五、当堂检测：1．下列说法正确的是()A．函数的极大值就是函数的最大值B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值D．在闭区间上的连续函数一定存在最值2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x)()A．等于0B．大于0C．小于0D．以上都有可能3．函数y=，在［-1,1］上的最小值为()A．0B．－2C．－1D．4．设y=

7、x

8、3,那么y在区间［-

9、3,-1］上的最小值是()A．27B．－3C．－1D．15．设f(x)=ax3－6ax2+b在区间［-1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a>0,则()A．a=2,b=29B．a=2,b=3C．a=3,b=2D．a=－2,b=－3答案：1．D2．A3．A4．D5．B六、课后作业：习题1.3A组第6题