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1、排列组合　　[教学重点]两个原理的区别、排列与组合的区别　　[教学难点]原理中完成一件事的“内容”，排列与组合中的顺序问题　　[教学内容]　　一．两个原理：　　两个原理是解决排列组合问题的基础，在实际运用中，要分清完成一件事是分类还是分步，当然首先要明白什么是完成这件事。　　1．分类计数原理(加法原理)：　　完成一件事，有n类办法，如果在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：　　N＝m1+m2+……+mn种不同的方法。　　2．分步计数原理

2、(乘法原理)：　　完成一件事，需要分成n个步骤，如果做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：　　N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。　　例题分析：　　例1．从北京到天津火车有10个车次，汽车有12个班次，飞机有2个航班，从天津到上海火车有10个车次，汽车有8个班次，飞机有8个航班，轮船有2个班次，　　(1)问：从北京到天津有多少种不同的到达方法?　　(2)问：从北京经天津到上海有多少种不同的到达方法。　　解：　　(1)完成这件事：从北京到达了天津(可乘

3、坐任何班次的火车、汽车、飞机)　　乘坐火车、汽车、飞机都能完成这件事，火车、汽车、飞机中的任何班次都能完成这件事，因此采用分类计数原理，共有三类办法，每一类分别有10、12、2种不同的办法，共有10+12+2＝24种不同的办法。　　(2)完成这件事：从北京经天津到达上海(必须经天津)　　完成这件事分为两个步骤：第一步，从北京到天津，共有24种不同的办法；第二步从天津到上海，共有10+8+8+2=28(作法同(1))种不同的方法，完成这件事利用分步计数原理共有24×28＝672种不同的方法。　　例2．　　(1)四位同学参加跳

4、远、跳高、跑步三项比赛，要求每人报名参加一项，问：有多少种不同的报名方法?　　(2)四位同学争夺跳远、跳高、跑步三项比赛的冠军，问：有多少种不同的结果?　　解：　　(1)完成这件事：四位同学都有了一个项目，四位都报了名这件事才完。采用分步计数原理：3×3×3×3=81种不同的方法；　　(2)完成这件事：三项冠军都有了得主，而对于每一项冠军来说，每一位同学都有可能得到。采用分步计数原理：4×4×4＝64种不同的方法。　　例3．求：集合A＝{1，2，3，4}的子集的个数。　　解：首先要知道子集的定义，即：集合M中的每一个元素都

5、在集合N中，则称集合M是集合N的子集。因此集合A的子集中的元素都是集合A的元素，需要考察集合A中的每一个元素是否在其子集中，而对于一个元素相对于集合来说只有在、不在两种情况，集合A中有四个元素，集合A的子集的个数为：2×2×2×2＝16个。　　例4．求：用0、1、2、3组成无重复数字的三位偶数的个数。　　解：由于满足条件的三位数的个位需要0、2，而个位是0、2对百位(首位)又有不同的影响(首位不能为零)，因此把满足条件的三位数分为个位是0，个位是2两类：　　个位是0时有3×2＝6个数；　　个位是2时有2×2＝4个数，共有1

6、0个数。　　分类、分步计数原理同时应用时，一般采用先分类、后分步的原则。　　二．排列与排列数　　明确排列的概念十分重要，它是求出排列数的基础，只有明确哪些排列相同，哪些排列不相同，才能使得排列数做到不重不漏。　　1．排列：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。　　相同的排列是指元素相同且顺序相同。　　2．排列数：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。　　排列数公式：　　3．全

7、排列：　　把n个不同的元素全部取出(从n个不同的元素中取出n个元素)，按照一定的顺序排成一列，叫做n个不同的元素的一个全排列，全排列的个数叫做n个元素的全排列数，用符号表示。此时，=n(n-1)(n-2)……3·2·1=n！n!表示正整数1到n的连乘，叫做n的阶乘。　　因此：，规定：0!＝1。　　例题分析：　　例1．7人站在一排，　　(1)甲站在中间的不同排法有___________种；　　(2)甲、乙相邻的不同排法有_____________种；　　(3)甲、乙不相邻的不同排法有___________种；　　(4)甲、乙

8、、丙两两不相邻的不同排法有__________种；　　(5)甲站在乙的左边的不同排法有_____________种；　　(6)甲不站在左端，乙不站在右端的不同排法有___________种。　　解：求满足条件的排列数需要从特殊条件的元素入手，先排好特殊元素，对于没有要求的元素进行全排列即可。　　(1)先