8.2 线性系统的运动分析.doc

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1、8.2线性系统的运动分析8.2.1线性定常连续系统的自由运动在没有控制作用下，线性定常系统由初始条件引起的运动称为线性定常系统的自由运动，可由齐次状态方程描述(8-36)齐次状态方程通常采用幂级数法、凯莱－哈密顿定理和拉普拉斯变换法求解。1.幂级数法设齐次方程的解是t的向量幂级数式中，都是n维向量，且，求导并考虑状态方程，得由等号两边对应的系数相等，有故x(0)(8-37)定义=(8-38)则(8-39)标量微分方程的解与指数函数的关系为，由此可以看出，向量微分方程(8-36)的解与其在形式上是相似的，故把称为矩阵指数函数，简称矩阵指数。由于x(t)是由

2、转移而来，又称为状态转移矩阵，记为，即=(8-40)从上述分析可看出，齐次状态方程的求解问题，核心就是状态转移矩阵的计算问题。因而有必要进一步研究状态转移矩阵的算法和性质。2.拉普拉斯变换法将式(8-36)取拉氏变换，有(8-41)进行拉氏反变化，有(8-42)与式（8-39）相比有=(8-43)式（8-43）是的闭合形式。例8-8设系统状态方程为，试用拉氏变换求解。解状态方程的解为3.凯莱－哈密顿定理法矩阵A满足它自己的特征方程。即若设n阶矩阵A的特征多项式为(8-44)则有(8-45)从该定理还可导出以下两个推论。推论1矩阵A的次幂，可表为A的（n-

3、1）阶多项式(8-46)推论2矩阵指数可表为A的（n-1）阶多项式，即(8-47)且各作为时间的函数是线性无关的。由凯莱－哈密顿定理，矩阵A满足它自己的特征方程，即在式（8-46）中用A的特征值替代A后，等式仍能满足（8-48）利用上式和k个就可以确定待定系数。若互不相等，则根据式（8-48），可写出各所构成的n元一次方程组为（8-49）求解式（8-49），可求得系数,,…,，它们都是时间t的函数，将其代入式（8-47）后即可得出e。例8-9已知A＝，求e。解首先求A的特征值：，解得，将其代入（8-48），有解出系数于是e若矩阵A的特征值是m阶的重根，则

4、求解各系数的方程组的前m个方程可以写成（8-50）其它由，1，2，组成的（n-m）个方程仍与（8-49）的形式相同，它们与式（8-50）联立，即可解出各待定系数。例8-10已知A＝，求e。解先求矩阵A的特征值，由得，即，解得，为一个二重根，由（8-50）有解得，于是求得8.2.2状态转移矩阵的性质状态转移矩阵具有如下运算性质：1）(8-51)2）(8-52)上述性质利用定义很容易证明。式(8-52)表明A与A可交换，且。3）(8-53)在式（8-53）中，令便可证明这一性质。分别表示由状态x(0)转移至状态的状态转移矩阵。该性质表明可分解为的乘积，且是可

5、交换的。4）(8-54)证明由性质3）有根据逆矩阵的定义可得式(8-54)。根据的这一性质，对于线性定常系统，显然有5）（8-55）证明由于则即由转移至的状态转移矩阵为。6）＝（8-56）证明由和得到＝＝7）（8-57）证明8）若，则（8-58）例8-11已知状态转移矩阵为，试求。解根据状态转移矩阵的运算性质有8.2.3线性定常连续系统的受控运动线性定常系统在控制作用下的运动称为线性定常系统的受控运动，其数学描述为非齐次状态方程，即(8-59)主要有如下两种解法：1）积分法由式（8-59），有由于积分后有即（8-60）式中，第一项为状态转移项，是系统对初

6、始状态的响应，即零输入响应；第二项是系统对输入作用的响应，即零状态响应。通过变量代换，式（8-60）又可表示为(8-61)若取t0作为初始时刻，则有=(8-62)1）拉普拉斯变换法将式（8-59）两端取拉氏变换，有进行拉氏反变换有(8-63)例8-12设系统状态方程为且，试求在作用下状态方程的解。解由于，，根据式（8-61）可得例8-18已求得，因此有故＝＋8.2.4线性定常离散系统的运动分析求解离散系统运动的方法主要有z变换法和递推法，前者只适用于线性定常系统，而后者对非线性系统、时变系统都适用，且特别适合计算机计算。下面用递推法求解系统响应，重写系统

7、的动态方程如下：令状态方程中的k=0，1，…，k-1，可得到T，2T，…，kT时刻的状态，即k=0:k=1:k=2:k=k-1:于是，系统解为(8-64)8.2.5连续系统的离散化计算机只能处理离散信号，现代控制系统是基于计算机的控制系统，因此无论是控制，还是分析计算，都存在信号的离散化问题，连续系统离散化实际上是状态方程的离散化。1.线性定常连续系统的离散化已知线性定常连续系统状态方程在及u(t)作用下的解为假定采样过程时间间隔相等，令，则；令，则；并假定在t∈[k，k+1]区间内，u(t)=u(kT)=常数，于是其解化为若记通过变量代换得到（8-66

8、）故离散化状态方程为（8-67）式中，与连续状态转移矩阵的关系为=（8-68）2