全国大学生数学竞赛试题解答和评分标准(非数学类)

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1、WORD格式.整理版全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）优质.参考.资料WORD格式.整理版第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限.解因为……（2分）；原式………………………………………………………………………………………(2分)；……(2分)2.证明广义积分不是绝对收敛的解记，只要证明发散即可。……………………（2分）因为。…………（2分）而发散，故由比较判别法发散。……………………………………（2分）3.设函数由确定，求的极值。解方程两边对求导，得………

2、………（1分）故，令，得或………（2分）将代入所给方程得，将代入所给方程得，…………………………………（2分）又，优质.参考.资料WORD格式.整理版故为极大值，为极小值。…………………………（3分）4.过曲线上的点A作切线，使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的面积为，求点A的坐标。解设切点A的坐标为，曲线过A点的切线方程为……………………………………………………………………………（2分）；令，由切线方程得切线与轴交点的横坐标为。从而作图可知，所求平面图形的面积，故A点的坐标为。……………………………………………………（4分）二、（满分12）计算定积分解……

3、……………………………（4分）……………………（2分）……………………………………………………………（4分）…………………………………………………（2分）三、（满分12分）设在处存在二阶导数，且。证明：级数收敛。解由于在处可导必连续，由得…………………………………………（2分）……………………………………（2分）由洛必塔法则及定义…………………（3分）优质.参考.资料WORD格式.整理版所以……………………………（2分）由于级数收敛，从而由比较判别法的极限形式收敛。……（3分）四、（满分12分）设，证明解因为，所以在上严格单调增，从而有反函数……………………

4、…………………………………………………………（2分）。设是的反函数，则………（3分）又，则，所以…（3分）…………………（2分）五、（满分14分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分。试确定曲面，使积分I的值最小，并求该最小值。解记围成的立体为V，由高斯公式……………（3分）为了使得I的值最小，就要求V是使得的最大空间区域，即取，曲面……（3分）为求最小值，作变换，则，从而……………………………………（4分）使用球坐标计算，得……………………（4分）六、（满分14分）设，其中为常数，曲线C为椭圆优质.参考.资料WORD格式.整理版，取正向。求

5、极限解作变换（观察发现或用线性代数里正交变换化二次型的方法），曲线C变为平面上的椭圆（实现了简化积分曲线），也是取正向…（2分）而且（被积表达式没变，同样简单！），………………………………………………………………（2分）曲线参数化，则有，…（3分）令，则由于，从而。因此当时或时………（2分）而…（3分）。故所求极限为……………（2分）七（满分14分）判断级数的敛散性，若收敛，求其和。解（1）记因为充分大时…………（3分）优质.参考.资料WORD格式.整理版所以，而收敛，故收敛…（2分）（2）记，则=………………（2分）=…………………（2分）=…………………

6、……（2分）因为，所以，从而，故。因此。（也可由此用定义推知级数的收敛性）……………（3分）优质.参考.资料WORD格式.整理版优质.参考.资料WORD格式.整理版优质.参考.资料WORD格式.整理版优质.参考.资料WORD格式.整理版优质.参考.资料WORD格式.整理版优质.参考.资料WORD格式.整理版优质.参考.资料WORD格式.整理版优质.参考.资料WORD格式.整理版第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分，要求写出重要步骤。）（1）.求；解：方法一（用两个重要极限）：方法二（取对数）：（2

7、）.求；解：方法一（用欧拉公式）令其中，表示时的无穷小量，方法二（用定积分的定义）优质.参考.资料WORD格式.整理版（3）已知，求。解：二．（本题10分）求方程的通解。解：设，则是一个全微分方程，设方法一：由得由得方法二：该曲线积分与路径无关优质.参考.资料WORD格式.整理版三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为0，证明：存在唯一一组实数，使得。证明：由极限的存在性：即，又，①由洛比达法则得由极限的存在性得即，又，②再次使用洛比达法则得③由①②③得是齐次线性方程组的解设，则，优质.参考.资料WORD格式.整理版增广矩

8、阵，则所以，方程有唯一解，即存在唯一一组实数满足题意