数值分析第二章基于matlab的科学计算—非线性方程(组)

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1、科学计算一理伦、方法及其；Si子MATLAB的类现与分析解非线性方程（组）（一）直接法二分法：设方程./U）=o在区间［〃，/7］上有唯一解，并且/（〃）./•⑹<0,如方程(2)=%3-2.3x2+xsinx+0.3=0首先要确定适当的包含根的区间，这可以依据闭区间上连续函数的介值定理来确定，例如，/（l）=-l+sinl<0,/（2）=2sin2-0.9>0,所以方程（2）至少有一个实根属于区间

2、1,2

3、，图1表明区间

4、1，2

5、中只含有一个根，显然方程（2）的根不易直接求得。在区间［-1,0］、［0,1］和

6、［1，2］的情形，如下图1所示例1plotNLfunOl.mTheImageoff(x)=x3-2.3*x2+x*sin(x)+0.30.5-0.5-1.5•2"25-10.500.511.52图1clearx=-l:0•05:2;f=x,3-2.3*x,2+x.*sin(x)+0.3;plot(x,f,1r1zxz0*x,"k1)title(1TheImageoff(x)=x^3-2.3*x^2+x*sin(x)+0.31)xlabel('fontsize(12｝fontname｛宋体｝图1')axiss

7、quare二分法的求根过程：用/表示方程/U)=o在区间［«，/d上的根，对于给定的精度要求f>0,取区间的中点并按下式进行判断:b-ax"g/(七)冲)<0=>分€［又1，刎以/kM+o为例，如果那么区间［H,］内的任何一点都可以作为方程/Cr)=0的近根。二分法适用于一个方程的场合，收敛速度是线性的，二分次数的估计：b-a2^-N>］n(b-a)-eh?22、黄金分割法:在区间[a,b]内取对称的两点:x,=pb-ax2=a+p{b—a)使得(1—0b—Xj—ciX2~ci(3

8、{b—ci)/3{b-a)x2-ab-a{b-a)=>^2+^-l=0二/?二一1土士⑽〉/?=^±^之0.61822按这种方法选取点+和.，2,每次去掉的区间长度至少是原区间长度的0.618倍，/(%!)=0X,=X*/(%2)=0x2=x"/(%!)/(6z)<0^>x"e[a,xx]x*g/(x,)/(x2)<0=>a:*g[x,,x2]Zg[a,x}]

9、)写成等价的迭代形式：/(个o<^>x=(p(x)(7)由此确定了相应的迭代法：k+.=(pM1V%0G[«,/?]迭代收敛的图像解释对于非线性方程（组）的迭代法来说，同样面临收敛性问题，为说明收敛性条件，先看下面的例子：例2:让我们来求如下方程的根/（x）=%3-2.3x2+xsinx+0.3=0下面，我们采用迭代法求方程（1）位于区间［-1,0］中的根，为此构造迭代算法如下：0.3+sinx(2.3-Z7=l,2(10)0.3+sinxXn(2-3-在区间Hl,01中任取一个迭代初值&，如取初值A=-0.8

10、.执行下面的程序：Equtlteration.m:openEqutlteration.mEqutlteration29下面欲求1.5附近的根，为此分别取初值&=1.4,x0=1.9,迭代的结果如下:openEx_IteraConvO1Ex_IteraConvO131收敛性定理：（收敛的充分性条件）设方程/⑺=0在［a，/?］上存在唯一解，•¥=是方程的等价形式，如果1、g⑷在［心/?］上连续可微；2、对任何/小g（x）e［tz,/?］;3、gx）

11、，（11）生成的序列收敛于方程/⑷=o在［〃，叫上的唯一解。并有误差估计式注1:满足方程的点称为映射y=▲)的不动点;注2:具有性质

12、$»

13、

14、xh卜•••

15、^-+.-么

16、=

17、«?(及)-收-本*-易•据此递推，可得—XA-1—

18、-^1-又()I.于是对任意正整数'有^Xk+p-Xk-Xk^p-Xk+P-l

19、+Xk+P--Xk+P-2+…+

20、々+1-及

21、<(Lk+P—1+Lk+P'2+…+Z?)

22、x「jc0

23、在上式中令厂j00,注意到.-々+/卜2

24、+…+k+l-xk对任意正整数〃，有+/，-i+r^+p-xk+P-xk^x^P~xk<(Z/’_1十Lp_2+."+1)

25、人+

26、_x々

27、幺y^

28、a+1_x々

29、Xi-L：+i^•1一点注释：当方程（组）为线性方程（组）时，/U）就