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《空间向量知识点归纳(期末复习)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、空间向量期末复习知识要点:1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2.空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。运算律：⑴加法交换律：a+h=b+ci⑵加法结合律：（N+T）+E=N+0+e）⑶数乘分配律：=+3.共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，&平行于5,记作allbo当我们说向量N、T共线（或a//b）时，表示万、5的有向线段
2、所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量万、b（方工6）,allb存在实数2,使a=kbo4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量方,5不共线，"与向量刁,5共面的条件是存在实数x^y^p=xa--yb。5.空间向量基本定理：如果三个向量a.b.c不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使0=xN+y5+zC。若三向量万不共面，我们把｛a.b.c｝叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共而的向量都可以构成空间的一个
3、基底。推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使OP=xOA+yOB+zOC。6.空间向量的数量积。（1）空I'可向量的夹角及其表示：已知两非零向量a.b,在空间任取一点0,作0A=a,0B=b,则厶叫做向量N与方的夹角，记作且规定OMa9b＞＜7T,显然有＜丽＞=＜歸＞；若＜云伍＞=仝,则称万与5互相垂直，记作：N丄方。（2）向量的模：设0A=a，则有向线段刃的长度叫做向量万的长度或模，记作：ao（3）向量的数量积：已知向量丽,贝ij
4、5
5、-
6、6
7、-cos＜5^＞叫做乳方的数量积，记作a-b,即方・5=a-h-cos
8、o(4)空间向量数量积的性质：①3-e=
9、5
10、coso②万丄h<^=>a-h=0o③a^=a•ao(5)空间向量数量积运算律：©(25)-b=2(3-b)=a-(Ab)o②ab=b-a(交换律)。@a-(b+c)=a-b+a-c(分配律)。1.空I'可向量的坐标运算：(1).向量的直角坐标运算(2)a—b=(a】-b^a2-b2,a3-b3)；—e(4)a9b=aAb}+a2b2+a3b3；设a=(a^a29a3)fb=(bx,b2,b3)则(1)a+b=(勺+勺卫2+〃2，。3+伏);(3)入万=(加]，加2,加3)(入WR)；•,•,•(2)•设A(xpypZj),B(x2,
11、y2,z2),则AB=OB-OA=(x2-x{,y2-y},z2-z}).丄丄(3).设a=(X],必，Z]),b=(x2,y2,z2),贝】J7——9?2_=a•a=石+片+Zj丄丄丄iii丄丄丄丄aPba=^b(bHO)；d丄boa・b=0ox}x2+y}y2+z,z2=0•⑷.夹角公式设云=(坷“吗),方=(4,2厶)，则cos=/砒+警+小+q；+ci；Jb；+b；+b；cos&=
12、cos仏b11(5).异面直线所成角丨兀內+儿儿+么乓!J*/+J/,+可2•&：+旳？+Z?2(6).直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线/的方向向量为0，平面G的法向量为弘直线/与平面G
13、所成的角则有sin0=
14、cos〃
15、=I心Ii«ikr两向暈0与證的夹角为0,(1)如图①，AB,CQ是二面角a・1中的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小0=〈乔，CD).(2)如图②③，Hz，心分别是二面角a-l-fi的两个半平面a,”的法向量，则二面角的大小&=51，刃2〉或兀—51，兀2〉・COS&]=COS=练习题：1-己知a=(—3,2,5),b=(l,x,•1)且a・b=2,则x的值是(A.3B.4C.5D.62.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a〃b,贝9()A.x=6,尹=15B.x=3,y=2C.x=3,y=15D.兀=6,y=23.已知空间
16、三点/(0,2,3),5(-2,1,6),C(l,-1,5).若阀=羽,且a分别与乔，花垂直，则向量。为()A.(1,1,1)B.(-1,-1,-1)C.(1,1,1)或(一1,—1,—1)D.(1,—1,1)或(-1,1,-1)4.若a=(2,一3,5),*=(-3,1,一4),贝也一2切=.5.如图所示，A已知正四面体ABCD4E=*B,CF=^CD,则直线DE和3F所成角的余弦值为4.A/258解析Va
