不等式.讲义知识点详解+例题+习题(含详细答案)

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1、不等式讲义最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)

2、a＋b

3、≤

4、a

5、＋

6、b

7、(a，b∈R)．(2)

8、a－b

9、≤

10、a－c

11、＋

12、c－b

13、(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

14、ax＋b

15、≤c，

16、ax＋b

17、≥c，

18、x－c

19、＋

20、x－b

21、≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法(1)

22、f(x)

23、>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；(2

24、)

25、f(x)

26、0)⇔－a

27、x－a

28、＋

29、x－b

30、≤c，

31、x－a

32、＋

33、x－b

34、≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质

35、a

36、－

37、b

38、≤

39、a±b

40、≤

41、a

42、＋

43、b

44、.问题探究：不等式

45、a

46、－

47、b

48、≤

49、a±b

50、≤

51、a

52、＋

53、b

54、中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式

55、a

56、－

57、b

58、≤

59、a＋b

60、≤

61、a

62、＋

63、b

64、，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且

65、a

66、≥

67、b

68、；不等式

69、a

70、－

71、b

72、≤

73、a－b

74、≤

75、a

76、＋

77、b

78、，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab

79、≥0且

80、a

81、≥

82、b

83、.3．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则()()≥(i

84、bi)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则

85、α

86、·

87、β

88、≥

89、α·β

90、，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对

91、a＋b

92、≥

93、a

94、－

95、b

96、当且仅当a>b>0时等号成立．(　　)(2)对

97、a－b

98、≤

99、a

100、＋

101、b

102、当且仅当ab≤0时等号成立．(　　)(3)

103、ax＋b

104、≤c(c>0)的解等价于－c≤ax＋b≤c.(　　)(4)不等式

105、x－1

106、＋

107、x＋2

108、<2的解集为Ø.(　　)(5)若实数x

109、、y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√2．不等式

110、2x－1

111、－x<1的解集是(　　)A．{x

112、0

113、1

114、0

115、1

116、0

117、a

118、<1，

119、b

120、<1，则

121、a＋b

122、＋

123、a－b

124、与2的大小关系是(　　)A．

125、a＋b

126、＋

127、a－b

128、>2B．

129、a＋b

130、＋

131、a－b

132、<2C．

133、a＋b

134、＋

135、a－b

136、＝2D

137、．不能比较大小[解析]　

138、a＋b

139、＋

140、a－b

141、≤

142、2a

143、<2.[答案]　B4．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为(　　)A．1B．C.D．2[解析]　(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．∴(＋＋)2≤3.故＋＋的最大值为.故应选C.[答案]　C5．若存在实数x使

144、x－a

145、＋

146、x－1

147、≤3成立，则实数a的取值范围是________．[解析]　利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3，所以a的取值范围为－2≤a≤4.[答案]　－2≤a≤4考点一　含

148、绝对值的不等式的解法解

149、x－a

150、＋

151、x－b

152、≥c(或≤c)型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．(1)(2015·山东卷)不等式

153、x－1

154、－

155、x－5

156、<2的解集是(　　)A．(－∞，4)B．(－∞，1)C．(1,4)D．(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x的不等式

157、ax－2

158、<3的解集为，

159、则a＝________.[解题指导]