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1、第三篇第一章误差与范数第一章误差与范数1.1误差的来源例1.1.1用差商求在处导数的近似值.取，，=0.000000000000001和=0.0000000000000001分别用MATLAB软件计算，取十五位数字计算.解在MATLAB工作窗口输入下面程序>>a=3;h=0.1;y=log(a+h)-log(a);yx=y/h运行后得yx=0.32789822822991将此程序中改为0.0001，运行后得yx=0.33332777790385后者比前者好.再取h=0.000000000000001，运行后得yx=0.44408920985006不如前者好
2、.取h=0.0000000000000001，运行后得yx=0算出的结果反而毫无价值.例1.1.2分别求方程组在下列情况时的解，其中.（1）;（2）.解（1）首先将方程组化为同解方程，然后在MATLAB工作窗口输入程序>>b=[2,2]';A=[1,1;1,1.01];X=Ab运行后输出当时，的解为；（2）同理可得，当时，的解为.例1.1.3计算的近似值.解泰勒级数e,取，得.（1.2）这是一个无限过程，计算机无法求到精确值.只能在（1.2）取有限项时计算，再估计误差.如果取有限项作为的值必然会有误差，根据泰勒余项定理可知其截断误差为e.如果取（1.2）
3、的前九项，输入程序>>n=8;s=1;S=1;fork=1:n6第三篇第一章误差与范数s=s*k;S=S+1/s,ends,S,R=3/(s*(n+1))或>>S1=1+1+1/2+1/(1*2*3)+1/(1*2*3*4)+1/(1*2*3*4*5)+1/(1*2*3*4*5*6)+1/(1*2*3*4*5*6*7)+1/(1*2*3*4*5*6*7*8),R1=3/(1*2*3*4*5*6*7*8*9)运行后结果S=R=2.718278769841278.267195767195768e-006因为截断误差为所以e的近似值e2.71828.1.2误差和
4、有效数字例1.2.1取作为的四舍五入近似值时，求其绝对误差和相对误差.解在MATLAB工作窗口输入程序>>juewu=exp(1)-2.71828运行后输出结果为juewu=1.828459045505326e-006例1.2.2计算d的近似值，并确定其绝对误差和相对误差.解因为被积函数的原函数不是初等函数，故用泰勒级数求之.,（1.5）这是一个无限过程，计算机无法求到精确值.可用（1.5）的前四项代替被积函数，得d)d==.根据泰勒余项定理和交错级数收敛性的判别定理，得到绝对误差=WU，在MATLAB命令窗口输入计算程序如下：symsxf=1-x^2/(
5、1*2*3)+x^4/(1*2*3*4*5)-x^6/(1*2*3*4*5*6*7)y=int(f,x,0,pi/2),y1=double(y)y11=pi/2-(pi/2)^3/(3*3*2)+(pi/2)^5/(5*5*4*3*2)-(pi/2)^7/(7*7*6*5*4*3*2)inf=int(sin(x)/x,x,0,pi/2),infd=double(inf)WU=(pi/2)^9/(9*9*8*7*6*5*4*3*2),R=infd-y11因为运行后输出结果为：1.37076216815449，=1.37074466418938，1.75039
6、651049147e-005，WU=1.782679830970664e-005.所以，6第三篇第一章误差与范数的绝对误差为，故d.的相对误差为<0.0073%.1.3误差估计的基本方法例1.3.4设计三种算法求方程在的一个正根的近似值，并研究每种算法的误差传播情况.解为解已知方程，我们可以设计如下三种算法，然后将计算结果与此方程的精确解比较，观察误差的传播.算法1将已知方程化为同解方程.取初值，按迭代公式依次计算，结果列入表1–3中.算法2将已知方程化为同解方程.取初值，按迭代公式依次计算，结果列入表1–3中.算法3将已知方程化为同解方程.取初值，按迭代
7、公式为依次计算，结果列入表1–3中.我们为这三种算法的计算编写两套MATLAB程序如下：（1）MATLAB主程序function[k,juecha,xiangcha,xk]=liti112(x0,x1,limax)%输入的量--x0是初值,limax是迭代次数和精确值x;%输出的量--每次迭代次数k和迭代值xk,%--每次迭代的绝对误差juecha和相对误差xiangcha，x(1)=x0;fori=1:limaxx(i+1)=fl(x(i));%程序中调用的fl.mjuecha=abs(x(i)-x1);xiangcha=juecha/(abs(x(i)
8、)+eps);xk=x(i);k=i-1;[(i-1),juech
