湍流的非局部自相似随机函数模型.doc

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1、湍流的非局部自相似随机函数模型*国家自然科学基金资助项目10225210、10572004史一蓬1，丁可琦1，张志雄1，胡宁1，佘振苏1,21.北京大学工学院，湍流与复杂系统国家重点实验室，1008712.DepartmentofMathematics,UniversityofCalifornia,LosAngeles,LosAngeles,CA90095,USAEmail:she@pku.edu.cn,Fax:010-62757944,Phone:010-62757944摘要：人们越来越注意到湍流流场多尺度结构标度律背后所蕴涵的自相似特征，然而这一特征还未能成为建立

2、湍流模型的基础思想，还未能在工程应用中发挥作用。我们试图从湍流流场的这一基本特征出发，构建广泛的描写湍流流场多尺度特性的随机函数模型，为新一代工程湍流模型的建立奠定基础。研究表明，真实湍流的脉动结构级串过程满足如下非局部自相似模型：湍流各尺度的脉动结构存在广泛的非局部自相似性，当雷诺数趋向无穷大时，各类脉动结构在各个尺度上的比重相同，同一类脉动结构在不同尺度上的强度满足一定的不变乘积递推关系。这些性质构成了湍流的非局部自相似随机函数模型，可以由一组叠代函数系统构成。本文介绍在此模型下发展的一个非局部分形插值方法(NLFIT)，由它得到了具有无穷大Re数的人造湍流场，它

3、具有满足-5/3律的能谱，消除了传统的分形插值方法所构造的流场能谱和速度结构函数上的任意抖动。对于无穷Re数流场，不光是速度结构函数，还有许多物理量也具有绝对标度律，利用它们可以建立新的亚网格应力动力学模型。关键词：湍流模型,非局部分形插值,自相似引言湍流场是一个具有丰富尺度结构的大自由度复杂系统,既具有随机性,也具有统计上的相对稳定性和自组织性。为了工程应用的需要，人们需要对湍流场进行数值近似。如果直接从流体力学的基本方程去计算湍流场(通常称DNS)，大多数情况下因计算时间空间代价过大而难以实现。因此人们常常满足于计算粗粒化流场的演化规律，而这需要对亚网格应力建立一

4、定的模型，用所谓大涡模拟(LES)的方程去计算粗粒化流场的演化过程。至今为止，人们所建立的亚网格应力（SGS）模型包含太多人为的因素，缺乏理论根据，尚不够精准，离工程应用还有相当距离。由于亚网格应力代表过滤掉的小尺度脉动和可解尺度湍流间的动量输运，为了从理论上完善大涡模拟所依赖的亚网格应力模型的建立，需要尽可能多地利用湍流脉动结构由大尺度到小尺度演化的规律。而基于湍流脉动结构自相似性的随机函数模型是探索检验和理解这些演化规律的很好工具。分形插值方法(FIT)就是利用粗网格流场与过滤掉的亚网格流场之间的分形相似关系而建立的一种插值方法，它包含了对湍流大小尺度之间相关关系

5、的一种特殊刻画。Scotti和Meneveau[1,2]（SM）首先建议用FIT得到粗粒化的Navier-Stokes大涡模拟方程，为建立理性的大涡模拟方法开辟了一条新的思路。SM模型所产生的湍流信号满足一些重要的分形特性，如K41标度律。Basu[3]扩展了SM模型，他们的FIT能得到具有重分形的湍流信号，通过设定FIT的参数，还能得到多样化级串过程的多尺度脉动信号，包括一些在真实世界中难以获得的理想化脉动信号，为深入的学术研究提供丰富的数据。分形插值方法已经被用来模拟湍流场[6-12]。不幸的是，SM的分形插值方法中对于湍流场中处处存在局部尺度相似脉动结构的假设与

6、实际湍流信号的性质相去甚远，它们的能谱及速度结构函数曲线都有不规则波动，这些波动恰恰反映了FIT所定义的从大尺度信号到小尺度信号的局部自相似映射是非物理的。基于他们的分形插值方法得到的亚网格应力模型，也因此与实际湍流多尺度脉动信号的性质大相径庭。我们的研究发现，真实湍流中存在的大小尺度之间的自相似性是以非局部的形式来表达的，即脉动结构在两个尺度上满足系综相似的性质，而系综的任意样本（物理位置一致的两个不同尺度的脉动）一般不具有相似性。我们可以将具有相似性的脉动结构归为同一类，那么，具有理想标度律的脉动结构（对应于Re无穷大的流场）满足如下两个性质：各类脉动结构在各个尺

7、度上的比重相同；同一类脉动结构在不同尺度的强度满足一定的随机乘子映射[4,5]。满足以上性质的随机函数将被称作为非局部自相似随机函数，是可以通过设置非局部的随机映射网络并应用具有一定强度映射分布的叠代函数系统来产生。本文具体构造了这样的非局部的随机映射网络，并以满足对数泊松分布的随机乘子[13,14]，得到了具有无穷Re数的流场，它的能谱近似满足－5/3律，速度结构函数具有满足SL绝对标度律。本文中，我们证明，如此建立的湍流场的许多物理量也具有绝对标度律，利用这些标度律可以建立新的亚网格应力动力学模型。分形插值的回顾湍流场的速度脉动结构具有一定的自相