受热双层复合简支梁的弯曲问题.doc

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1、受热双层复合简支梁的弯曲问题秦立平1尚新春21北京科技大学土木工程系，Email：qlpsuc@163.com2北京科技大学数学与力学系摘要：本文采用弹性理论的平面问题应力函数解法对双层复合简支梁的热变形问题进行了数值计算，并与Timoshenko材料力学解答和有限元结果进行了比较。结果指出，不论对细长梁或者短高梁，应力函数解法对弯曲变形计算比较准确，但对于层间应力，由于采用了圣维南边界条件，得到的端部应力误差较大。所以，当对双层复合梁进行分析计算时需要更精确的计算方法。关键词：双层简支梁；应力函数解法；最大挠度；层间应力；热弯曲变形。一、引言双金属片在结构

2、上属于双层复合简支梁，它是由热膨胀系数不同的两种弹性材料粘接（或焊合等）而成。由于其组成的合金热膨胀系数差异大，受热时发生弯曲，冷却时恢复原状，双金属片作为一种重要的弹性元件在航空航天、机械、仪表、微电子等现代工业和高科技领域中的传感器和测量仪表上得到广泛应用。当温度升高或降低时，由于上下层的热膨胀变形不同，双层复合梁将发生弯曲变形，并产生热应力。Timoshenko采用材料力学的理论，简单地计算出了双金属条的弯曲挠度和离两端较远的横截面内的热应力等[1]。Hess应用弹性理论和特征展开方法，给出了平面应力和平面应变解答[2]。Suhir推广了Timoshe

3、nko的材料力学方法，得到了进一步的结果[3]。国内，张福范采用了材料力学方法，以整式给出了接触面内的热应力（包括剪应力、正应力）和端部集中应力[4]。本文采用弹性理论的应力函数解法，对双层复合梁热弯曲变形进行了数值计算，并把结果与文献和有限元结果进行了对比和总结。二、分析方法考虑一个两端简支双层复合梁（如图1），其上下层的热膨胀系数分别为、，弹性模量分别为、，泊松比分别为、，厚度分别为、，温度变化为。坐标系选取如图1所示。图1两端简支双层复合梁及位移约束示意图Timoshenko双层金属条的弯曲曲率为[1]：(1)其中；；。由此可得弯曲最大挠度为：(2)这

4、里采用弹性理论的平面问题应力函数解法，设应力函数为如下三角级数形式：（3）梁的上下表面边界条件为：，（4）梁的交界面应力位移连接条件为：，，，（5）显然，在左右端面上级数形式解（3）可自动满足，但是不能精确满足，改为满足其弱形式的圣维南边界条件：，。三、算例与讨论细长梁和短高梁的材料参数一致：热膨胀系数、，弹性模量、，泊松比、，。细长梁长度，层厚；短高梁长度，层厚。有限元计算中位移约束条件如图1所示。采用“solid42”单元模型，上、下两层的交界面选用“glue”粘接方式，并且各点温度变化相同，即在“loads”中选用“uniformtemperature

5、”。按照平面应力问题考虑，计算出的交界面挠度曲线由图2、图3和图4所示,可以看到对于细长梁来说两者吻合很好（图2），Timoshenko解与ANSYS解、三角级数解的相对误差约为0.3%；随着高长比的逐步增大，三者的相对误差逐渐增大，如图3所示；对于短高梁来说误差比较明显（图4），Timoshenko解与ANSYS解、三角级数解的相对误差约为4%。表1中列举了三种解法的部分结果，从中也可以看出ANSYS解、三角级数解吻合得更好一些。可以看到，Timoshenko的细长梁挠度解，与ANSYS解、三角级数解吻合较好，误差较小，在层状结构计算中得到了广泛应用，但是

6、，如果考虑短高梁时Timoshenko解则无法满足精度要求，双层复合梁弯曲变形问题需要更精确的计算方法；本文采用的三角级数解法，不论是细长梁还是短高梁，与ANSYS解吻合的都比较好，可以初步判定三角级数方法计算出的梁的弯曲变形结果比较精确。图2细长梁（即h/2l=1/10）的界面挠度图3中厚梁（即h/2l=1/5）的界面挠度图4短高梁（即h/2l=1/3）的界面挠度表1计算结果的比较h/l交界面中点挠度V(0,0)（10-4m）端部水平位移U（l,0）（10-4m）下层端面转角φ1（10-2m）上层端面转角φ2（10-2m）Timshenko-3.5740.

7、553-2.85-2.85ANSYS-3.5610.709-2.95-2.72present-3.5580.711-2.94-2.74Timshenko-0.8941.102-1.42-1.42ANSYS-0.8800.347-1.53-1.29present-0.8770.348-1.52-1.30Timshenko-0.3221.732-0.84-0.84ANSYS-0.3080.202-0.97-0.72present-0.3050.202-0.96-0.73按照平面应变问题考虑，计算出交界面上的、分别如图5中的a、b所示，并与HESS和SOHIR的结

8、果[5]进行了比较。从图中可以看到，在梁中部，各计算