二阶线偏微分方程的分类

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1、第十章二阶线性偏微分方程的分类本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方法和偏微分方程的标准化.特别对于常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微分方程求解是十分有用的.10.1基本概念(1)偏微分方程含有未知多元函数及其偏导数的方程，如其中是未知多元函数，而是未知变量；为的偏导数.有时为了书写方便，通常记(2)方程的阶偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶．(3)方程的次数偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的次数．(4)线性方程一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所

2、有（组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程．(5)准线性方程一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程．(6)自由项在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项．例如：方程的通解和特解概念二阶线性非齐次偏微分方程的通解为其中是两个独立的任意函数．因为方程为二阶的，所以是两个任意的函数．若给函数指定为特殊的，则得到的解称为方程的特解．n阶常微分方程的通解含有n个任意常数，而n阶偏微分方程的通解含有n个任意函数．10.2数学物理方程的分类

3、在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点．我们在解析几何中知道对于二次实曲线其中为常数，且设则当时，上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类.下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行理论分析．而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的．两个自变量(x,y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为（10

4、.2.1）其中为的已知函数．定理10.2.1如果是方程(10.2.2)的一般积分，则是方程(10.2.3)的一个特解．在具体求解方程(10.2.10)时，需要分三种情况讨论判别式1.当判别式以求得两个实函数解时，从方程(10.2.10)可也就是说，偏微分方程(10.2.1)有两条实的特征线．于是，令即可使得．同时，根据(10.2.4)式，就可以断定．所以，方程(10.2.6)即为(10.2.4)或者进一步作变换于是有所以又可以进一步将方程(10.2.11)化为这种类型的方程称为双曲型方程．我们前面建立的波动方程就属于此

5、类型．2．当判别式时：这时方程(10.2.10)一定有重根因而只能求得一个解，例如，，特征线为一条实特征线．作变换就可以使由(10.2.4)式可以得出，一定有，故可推出．这样就可以任意选取另一个变换，只要它和彼此独立，即雅可俾式即可．这样，方程(10.2.6)就化为此类方程称为抛物型方程．热传导（扩散）方程就属于这种类型．3.当判别式面的讨论，只不过得到的时：这时，可以重复上和是一对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(10.2.1)的两条特征线是一对共轭复函数族．于是是一对共轭的复变量．进一步引进两个新的实变量于是所以方

6、程(10.2.11)又可以进一步化为这种类型的方程称为椭圆型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz方程都属于这种类型．综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只需讨论判别式即可.10.3二阶线性偏微分方程标准化对于二阶线性偏微分方程(10.3.1)若判别式为，则二阶线性偏微分方程分为三类：时，方程称为双曲型;时，方程称为抛物型;时，方程称为椭圆型;1.双曲型偏微分方程因为双曲型方程对应的判别式所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，设特征方程的解为令(10.3.2)进行

7、自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式(10.3.3)上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量代换，令或则偏微分方程又变为(10.3.4)上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式．注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如与是两个不同的函数。2．抛物型偏微分方程因为抛物型偏微分方程的判别式线是一族实函数曲线．，所以特征曲其特征方程的解为(10.3.5)因此令进行自变量变换，则原偏微分方程变为(10.3.6)上式称为抛物型偏微分方程的标准形式．3.椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的判别式，所以特征曲线是

8、一组共轭复变函数族．其特征方程的解为(10.3.7)若令(10.3.8)作自变量变换，则偏微分方程变为(10.3.9)上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式．10.4二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可以进一步化简．下面按三种类型分别介绍化简的方法1.双曲型对于下列含常系数的第一种标