小概率原理及应用研究.doc

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1、小概率原理及应用研究在中国五千年的文化长河中，流传着许多诸如“不怕功夫深，铁杵磨成针”、“水滴石穿”、“天上不会掉馅饼”、“瓦罐不离井边破，就怕来的遭数多”的谚语、典故，它们体现出了很强的哲学思想。比如，最后这则谚语从数学角度来讲，说的就是小概率事件。意思是：挂在井沿边打水的那个瓦罐，在一次打水中被碰破的可能性很小，几乎是不发生的；但在多次打水中迟早被碰破的可能性却很大，几乎是必然的。这种小概率事件在生活中也常常遇到，例如2008年5月12日，四川发生特大地震；2009年10月9日河南安阳一彩民买彩票中了大奖，奖金近亿；2013年2月15日俄罗斯发生天体坠落事件等等。1.小概率

2、原理小概率事件应从两方面认识它：一方面由实际推断原理知道，小概率事件A在一次实验中几乎是不发生的；另一方面，在不断的独立重复实验中，小概率事件A迟早发生的概率为1。事实上，“小概率事件”通常指发生概率在以下或以下的事件。根据大数定律，在大量重复试验中事件出现的频率稳定于它的概率。倘若某事件A出现的概率P很小，则它在大量重复试验中出现的频率应该很小。例如，若，则大体上在l000次试验中A才出现一次。因此，概率很小的事件在一次试验中实际上不大可能出现，如果真的发生了，则怀疑其真实性。在概率论的应用中，称这样的事件为实际不可能事件。人们把它当作一个常识对待。例如，人们出门做事会遇到不

3、测，如走路时可能会出车祸，但出门前不考虑此事，原因是认为这个概率实在太小了，几乎不会发生的。但是，小概率事件不论概率多么小，总是有可能发生的。我们也不能忽视小概率事件，事件重复的次数多了，小概率事件迟早也会发生。设一次试验中事件A发生的概率为，则不论如何小，只要不断地独立重复做此试验，A迟早会出现的概率为l。证明：A迟早会出现的意思是，只要试验次数无限地增多，A总会出现。设，，则在前次试验中都不出现的概率为于是，在前次试验中至少出现1次的概率为把此试验一次接一次地做下去，即让，由于，则当时，，这说明小概率事件A迟早会出现的概率为1。它表明无论事件A发生的可能性多么小，只要存在发

4、生的可能性，随着试验次数的增多，事件A总会发生的。俗话说“常在河边走，焉能不湿鞋”，就是这个道理。例如，—个人买彩票中奖的概率比较小，但如果很多人去买彩票，就有可能会有人中奖。又如一个人成为伟人的概率固然非常小，但千百万人至少有一个人成为伟人就很有可能了。人的一生有很多巧遇，聪明的人善于抓住好机会，避免坏机会。衡量“巧”的尺度就是概率的“小”。小概率事件是否可以忽略，要具体问题具体分析。例如。任何小概率的事件对航天飞机来说都有可能是致命的，而一批皮鞋中有0.01的次品却无妨大碍。在较复杂的问题中，利用小概率事件原理可以帮助我们透析小概率事件发生现象的更深背景。2.小概率原理的推

5、断方法定理一(贝努利大数定律)在次独立重复试验中，记事件A发生的次数。P是A发生的概率，则对于任意,有或。根据贝努利大数定律，事件A发生的频率依概率收敛于事件A发生的概率。就是说，当n很大时，事件A发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小。假如某事件A发生的概率很小，由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件A的频率来代替概率。倘若某事件A发生的概率很小，例如则大体上在1000次试验中A才出现一次，因此概率很小的事件在一次试验中几乎不可能发生。在概率论的应用中，称这样的事件为实际不可能事件。实际不可能事件在一次事件中是几乎不可能发生的，这就是小概率原理，也称为小

6、概率的实际不可能性原理。它是统计假设检验决定推翻还是接受假设的依据，也是人们在长期实践中总结出的一条实用性很强的原理。小概率原理的推断方法是概率性质的反证法，指的是首先提出假设，构造一个小概率事件。其次根据一次试验的结果来进行计算，最后按照一定的概率标准作出判断。若一次试验中出现了小概率事件，则认为不合理，应该拒绝假设；若未导致不合理现象出现，即小概率事件未发生，则不拒绝假设。例1：治疗白癜风的旧药的治愈率为0．001，现研制出一种新药，通过对10名患者临床试验，有六人治愈，问次新药的疗效是否提高了?解：先假设“治愈率没有提高”。抽取10名患者进行临床试验可以看做10次独立的重

7、复试验，治愈的人数设为X，则X服从二项分布，即X～B(10，0．001)，概率分布列为,则至少有6人治愈的概率为。该结果表明治愈超过6人的概率是很小的，根据小概率原理，治愈超过6人这个时间几乎不会发生，而现在在一次试验中发生了，所以我们有理由怀疑假设不成立，即新药治疗白癜风的效果比原来有明显的提高。3.小概率事件与不可能事件的区别人们在长期的实践中坚持这样一个观点：概率很小的事件在一次试验中与不可能事件几乎是等价的．即不会发生。如果在一次试验中小概率事件居然发生了，人们会认为该事件的前提条件