金融工程学理论与实务公式

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1、期权定价理论9・1风险中性定价9.1.1风险中性假设定价原理在风险中性的世界里，所有投资者都是风险中性的，其对所有资产的预期收益率都是无风险收益率，而且所有资产现在的价格都是该资产未来预期值用无风险利率折现后的现值。9・1・2风险中性定价思路假设一个无红利支付的股票，当前时刻(设为t时刻)股票价格为S,基于该股票的某个期权价值是f,期权的到期Fl是T时刻，在T时刻股票价格或者上升到Su(u为股票价格上升的倍数)或者下降到Sd(d为股票下降的倍数)。当股票价格上升到Su时，价格期权的价值为fu；如果股票的价格下降到Sd时，假设期权的价值为fd。下面分别

2、用风险中性定价和无套利均衡分析的方法计算该期权现在的价值fo(1)风险中性定价的思路假设风险中性世界中股票的上升概率为P,由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于股票目前的价格，故风险中性概率可通过下式求得。S=e-r(T-r)[SuP+Sd(l-p)],求出P=^因此，期权价格为匸erg[Pfu+(l-p)fd](2)无套利均衡分析的思路首先，构造一个有△股股票多头和一个期权空头组成的证券组合。在T时刻，若股票价格上升到久，则该证券组合的价值为SuA-fu；若股票价格下降到Sd，则该证券组合价值为SdA-fdo为了使该证券组合为无风险组合，

3、则在T时刻必须有SuA-fu=SdA-fd,计算出值△,即厶=虫二理。Su-Sd若无风险利率用I•表示，则该无风险组合的现值是(SuA-fu)e-r(T-r)或者(SdA-fd)er(T"r)；而该证券组合是有股股票多头和一个期权空头组成的，因此，该证券组合的价值是SA-f,在没有套利机会的条件下，两者必须相等。即S△■匸(SuA-f；)er

4、同。9・2布莱克•斯科尔斯期权定价模型9.2.1基本思想期权(欧式期权)的风险实际上在标的物价格及其运动中得到反映，即它们都受同一种不确定性因素的影响，只要匹配得当，这种不确定性就可以消除。通过买入一种股票同时卖出一定份额的该股票的看涨期权，可以构造一个无风险投资组合。在市场均衡条件下，该组合投资收益率等于无风险利率。因此，期权的收益可以用标的物股票和无风险证券的投资组合来复制，在无套利机会下，期权价格应等于购买投资组合的成本，即期权价格仅以来股票价格波动率、无风险利率、期权到期时间、执行价格和股票市价。9.2.2基本假设（1）允许卖空。（2）无税，

5、无交易成本。（3）所有证券都可无限细分。（4）在衍生证券有效期内，标的证券没有现金收益支付，无风险利率r为常数。（5）证券交易是连续的，价格变动也是连续的。（6）股票价格S遵循一种称之为带漂移的几何布朗运动。股票价格s所遵循的带漂移的几何布朗运动是一种随机过程，数学上可以表示为：ds=

6、1Sdt+°Sdz式中：卩一一股票在单位时间内以连续复利表示的期望收益率，又称漂移率；Q——股票收益率单位时间的标准差，又称为证券价格波动率；dz=z4di——标准布朗运动（也是一种随机过程），£满足标准正太分布。9.2.3布莱克-斯科尔斯微分方程的推导及求解1•布莱

7、克-斯科尔斯微分方程的推导因为，所以在小的时间间隔&中，股票价格变化AS为假设f是依赖S的衍生证券的价格，则0=(必“S+必+丄马*clt+os尸dt2as2(9-2)/在小的时间间隔At中，f的变化值为(9-3)为了消除Az,可以构建一个包括一单位衍生证券空头和鲁单位标(9-4)(9-5)的证券的组合。令口=牡+鲁s在Z^t时间后则WAIl=-Af+将式（9・1）和式（9-3）代入式（9・5）可得(9-6)式（9-6）中不含有Az,因此，在一个小的时间间隔后，该组合必定没有风险，其在At中的瞬时收益率一定等于无风险收益率,所以有=AZ,把式（9-6

8、）和式（9-4）代入上式得（必+丄空羽2352S)At苛丄1^72C2_£化简为乔亍硬"S+"乔二b<9-7）这就是著名的布莱克-斯科尔斯微分方程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。从（9・7）可以看出，衍生证券的价格f只与标的证券的市价S、时间t、证券价格波动率o和无风险利率r(它们都是客观变量)有关，而与主观变量卩(它受制于投资者的风险偏好)无关。2•利用风险中性假设求解假设所有投资者都是风险中性的，那么所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期吋(T时刻)的期望值为E[max(S

9、T-X,O)J,其现值为C=e_r(T_r)E[max(ST-X,O)](9-8)因为证券价格s遵循几何布朗