三分钟带你了解比特币的数学原理！.doc

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1、三分钟带你了解比特币的数学原理！　　2017年已然逝去，过去的一年人类对于科技再度狂热，但是狂热所引发的思潮却指向了截然不同的方向。　　　　一个爆炸性的突破是引力波被实验证实，从而验证了爱因斯坦广义相对论的预言。数十年前，韦伯的引力波实验就已经家喻户晓，但是其宣布的几次探测到的引力波没有得到世间公认。韦伯的历史角色一直在科学殉道者和江湖郎中之间徘徊。这次引力波探测成功，无疑将韦伯定义为历史先驱，使得他多舛的命运被赋予上悲剧英雄的色彩；同时，这也宣示着人类理性思维的巨大成功。爱因斯坦广义相对论的建立遵循了经典理论研究途径，从公理体系的建立，到严格数学推理，直至精确物理预言

2、，最后由实验检验；数学推理中抽象的黎曼几何超越了人类直觉，真正指导爱因斯坦建立恢弘体系的是对理论体系内在和谐性的审美。　　　　另一个颠覆性的进展是人工智能，特别是机器学习的热潮。这几年来，机器学习的知识技巧铺天盖地而来，学生每天都被各种学术广告所冲击，眼花缭乱、难以适从，终日处于被时代抛弃的焦虑之中。经过数年的学术训练后，依然无法对于问题进行数学建模、理论分析，取而代之的是“端到端”的训练技巧。这种基于经验统计的“炼金术”是否最终会被严格理论所阐发和提炼，目前仁者见仁，智者见智。静待泡沫散去，时光自会蒸馏出醇酒。　　　　第三个狂潮却饶有兴味，比特币和区块链。年末比特币市

3、场日趋狂热，日益脱离数字货币的初心，沦为豪赌的工具。虽然人类对于金钱的追求日益非理性，但是中本聪设计的比特币网络协议却是基于人类理性的假设。人类历史上，金融交易系统都是建立在信任基础之上的，一直存在可信赖的中心机构来认证个人拥有的财富值，来认证每笔交易的正确性。而比特币却颠覆了这两点：比特币系统不需要信任机构作为中心；比特币系统具有不可追踪性，无法从账户地址推断所有者。这种数字货币系统是基于如下的两个理性假设：首先，比特币网络上“好人”永远多于“坏人”；其次，基于椭圆曲线的加密算法是安全的，无法被轻易破解。　　　　椭圆曲线理论的兴起得益于费马大定理（Fermat‘sLa

4、stTheorem）的证明。费马猜测方程当n大于2时，不存在整数解。这一猜测犹如万丈绝壁，横亘在数论发展的历史道路上长达三百余年。最关键的突破来自于椭圆曲线。谷山丰提出的谷山-志村猜测建立了椭圆曲线和模形式（某种周期性全纯函数）之间的重要联系。谷山丰虽然洞察到了天机，但是无法证明，三十出头蹈海而逝，其新婚的妻子也殉情自杀。后来，安德鲁。怀尔斯（AndrewWiles）证明了谷山-志村猜测的一部分，从而证明了费马大定理。费马定理的证明自然是人类思想史上的丰碑，谷山为数学殉道，终成千古绝唱；怀尔斯数十年如一日痴心追梦，令人景仰。但是，在那时，无人会预料费马定理证明所孕育的椭

5、圆曲线理论会有一日成为比特币网络的基础。　　　　数学上愈是艰深的理论，转换成算法愈是难以破解，因此也是愈发安全。在有限域上，椭圆曲线所定义的代数簇（解的点集）是一个有限的离散点集。每条椭圆曲线和直线有三个交点，我们将其理解为三个点之和为0，如此在代数簇上定义了一个群结构。在这个群中，我们可以构造一些容易检验但是难以求解的问题，所谓单向函数，例如离散对数。这些单向函数用于数字签名，使得用户容易验证，但是无法伪造，由此构成了比特币协议的基础。数学上，对于椭圆曲线群结构的理解，对于比特币系统至关重要。椭圆曲线的加法群　　椭圆曲线具有形式，多项式方程有相异根的充要条件是非零。我

6、们考察代数簇这里是无穷远点。　　　　图1.椭圆曲线上的加法　　如图1所示，我们考虑定义在实数域上的一条椭圆曲线，它和过点P，Q的直线交于第三个点R，过R做铅直线，铅直线和椭圆曲线交于第四个点。第四个点和R互反，记为。那么，我们定义加法。经过简单代数运算，我们得到如此定义的加法使得椭圆曲线上所有的点构成一个加法群，无穷远点为单位元。图2.椭圆曲线上的乘法。　　图2显示了椭圆曲线上的乘法。如果我们过点G做切线，切线交椭圆曲线于-2G，经过反射得到2G。如此，我们可以定义4G，8G等等。　　以上的几何运算可以直接转换成代数运算。令，过两点的直线为，这里那么。由此，我们看到如果

7、椭圆曲线的系数A和B在某个域K中，的坐标也在域K中，那么和的坐标也在域K中。由此，庞加莱（Poincare）证明了实数域上椭圆曲线E（R）上所有坐标在K中的点E（K）（并上无穷远点）构成子群。　　复数域上的椭圆曲线-黎曼面　　如果椭圆曲线的域为复数域，那么椭圆曲线的代数簇构成一张黎曼面，亏格为一的拓扑轮胎。首先我们定义一个格点，那么轮胎是商空间。　　图4.复数域上的椭圆曲线。　　我们定义威尔斯特拉斯p-函数，（Weierstrassp-funcTIon），那么我们令则。这里威尔斯特拉斯p-函数是双周期函数，满足周期性条件。　　这时，椭圆曲