递推法在矩阵运算与不定积分计算中应用

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1、递推法在矩阵运算与不定积分计算中应用摘要：矩阵是线性代数中的重要内容，不定积分是高等数学中的重要内容•本文用递推法得出了可逆矩阵的一些运算性质，同时也得出了一些不定积分公式.关键词：递推法可逆矩阵不定积分假设阶矩阵可逆，结合可逆矩阵的公式，可以得出如下结论.A二AA,B二B

2、,(AB)二

3、AB

4、(AB)二ABBA=BA,(A)=

5、A

6、A二(A),(B)=

7、B

8、B=(B),(AB)=(B)(A)=(B)(A).利用递推法，可以将(AB)二BA,(AB)二(B)(A)这两个结论加以推广•假设n阶矩阵P,P,…，P可逆，(PP・・・P)

9、二P(PP・・・P)二PP(PP・・・P)二…二PP・・・PP(pp…p)二(P)((P・-PP))=(P)(PP・・・P)二(P)(P)…(P)(P)于是得出一般结论：(pp・・・p)二pp・・・pp,(PP・・・P)二(P)(P)…(P)(P)利用递推法，结合sinx,cosx的特殊性，也可以得出一些不定积分公式.?繋xsinxdx=-?繋xdcosx二-xcosx+?繋cosxdx二一xcosx+sinx+c?繋xsinxdx=-?繫xdcosx=-xcosx+2?繋xcosxdx=-xcosx+2?繫xdsinx=-xco

10、sx+2xsinx~2?繫sinxdx二-xcosx+2xsinx+2cosx+cn^Z,?繫xsinxdx二-？繫xdcosx二-xcosx+n?繫xcosxdx二-xcosx+n?繫xdsinx=-xcosx+nxsinx~n(n~l)?繫xsinxdx=-xcosx+nxsinx-n(nT)[-xcosx+(n~2)xsinx-(n~2)(n-3)?繫xsinxdx]=-xcosx+nxsinx+n(n-1)xcosx~n(n~l)(n-2)xsinx+n(n~l)(n~2)(n~3)?繫xsinxdx=•••二一Pxcos

11、(x+)+c可以用数学归纳法证明？繋xsinxdx=-Pxcos(x+)+c,证明时关键是完成如下步骤.cosx+(n+1)?繫xcosxdx二一Xcosx+(n+1)=-Xcosx+(n+1)=-Xcosx+(n+1)cos(x+)+c?繫xsinxdx二-x?繫xdsinxxsinx-n(n+1)xsinx+n(n+1)?繫xsinxdxPx=-xcosx+(n+1)xsinx+Pxcos(x+)+c二-xcosx+(n+1)xsinx+~Pxcos[x+]+c二一PXcos(x+)+c根据公式？繫xsinxdx=-Pxcos

12、(x+)+c,可以得出如下结论.?繫xcosxdx=?繫xdsinx=xsinx-n?繫xsinxdx=xsinx+nPxcos(x+)+c二xsinx+Pxcos(x+)+c=xsinx+Pxsin[x+]+c=xsinx+Pxsin[x+]+c=Pxsin(x+)+c?繫xcosxdx=由？繫xsinxdx=-Pxcos(x+)+c,Pxsin(x+)+c,可以得出下列公式:sinkxdx=-P(kx)cos(kx+)+c,kZcoskxdx=-P(kx)sin(kx+sinxdx=-P(2x)sin(2x+)+ccosxdx

13、=+P(2x)sin(2x+)+c利用递推法，结合e的特殊性，也可以得出一些不定积分公式.?繫xedx=?繋xde=xe-？繋edx=xe-e+cnWZ,?繫xedx二？繫xde二xe~n?繫xedx=xe-n?繋xde=xe-n[xe_?繫(n~l)xedx]=xe-nxe+n(n~l)?繋xedx二xe-nxe+n(n-1)[xe-(n-2)?繫xedx]=xe-nxe+n(n~l)xe~n(n~l)(n~2)?繫xedx二・・・二(-1)Pxe+c可以用数学归纳法证明？繋xedx二(-1)Pxe+c,证明时关键是完成如下步骤

14、.?繫xedx二xe-(n+1)?繫xedx二xe-(n+1)(-1)Pxe+c二xe_(-1)Pxe+c二xe+(-1)Pxe+c二xe+(-1)Pxe+c二(-1)Pxe+c由？繫xedx=(-1)Pxe+c,可以得出下列公式.?繫xedx=(-1)P(kx)e+c,k^Z参考文献：[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003,7.[2]赵树❷主编.线性代数[M].北京：中国人民大学出版社，2008,6.[3]同济大学数学系主编•线性代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社

15、，2007,5.[4]同济大学应用数学系•高等数学（第六版上、下册）•北京：高等教育出版社，2007.[1]托马斯.微积分•北京：高等教育出版社，2004.基金项目：国家自然科学基金10926104资助项目。