2018届高考数学一轮复习第五章数列第四节数列求和与数列的综合应用学案文

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1、1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．知识点一数列求和的几种常用方法1．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．2．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个

2、数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．4．倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．5．并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．1．判断正误-13-(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n项和时使用公式Sn＝较为合理．(　　)(2)如果数列{an}

3、为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　　)(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　　)(4)如果数列{an}是周期为k的周期数列，那么Skm＝mSk(m，k为大于1的正整数)．(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√2．数列{an}的通项公式是an＝，前n项和为9，则n＝________.解析：∵an＝＝－.∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.∴－1＝9，即＝10，∴n

4、＝99.答案：993．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n·2n，则Sn＝________.解析：∵an＝n·2n，∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.①∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1②①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2.答案：(n－1)2n＋1＋2知识点二数列的综合应用1．等差数列和等比数列的综合等差数列中最基本的量

5、是其首项a1和公差d，等比数列中最基本的量是其首项a1和公比q，在等差数列和等比数列的综合问题中就是根据已知的条件建立方程组求解出这两个数列的基本量解决问题的．2．数列和函数、不等式的综合(1)等差数列的通项公式和前n项和公式是在公差d≠0的情况下关于n的一次或二次函数．(2)等比数列的通项公式和前n项和公式在公比q≠1的情况下是公比q的指数函数模型．-13-(3)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．4．在数列{an}中，已知a1

6、＝1，an＋1－an＝sin，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2016＝(　　)A．1006B．1007C．1008D．1009解析：由an＋1－an＝sin，得an＋1＝an＋sin，所以a2＝a1＋sinπ＝1＋0＝1，a3＝a2＋sin＝1＋(－1)＝0，a4＝a3＋sin2π＝0＋0＝0，a5＝a4＋sin＝0＋1＝1，∴a5＝a1，如此继续可得an＋4＝an(n∈N*)，即数列{an}是一个以4为周期的周期数列，又2016＝4×504，所以S2016＝504×(a1＋a2＋a3＋a

7、4)＝504×(1＋1＋0＋0)＝1008，故选C.答案：C5．(2017·福州模拟)下面给出了一个三角形数阵，已知每一列的数成等差数列，从第3行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等．记第i行第j列数为aij(i，j∈N*)，则a43＝________.，，，…　…　…　…解析：由题意，第一列公差d＝－＝，-13-所以a41＝＋(4－1)×＝1.由第3行得公比q＝，所以a43＝1×2＝.答案：热点一　分组求和法求和【例1】　(2016·北京卷)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，

8、且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．【解】　(Ⅰ)等比数列{bn}的公比q＝＝＝3，所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27.设等差数列{an}的公差为d.因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27.所以1＋13d＝27，即d＝2.所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…)．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，an＝2n－1，bn＝3n－1，因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.从而数列{cn}的前n项和Sn＝1＋3＋…＋(2n－