2018年高考数学一轮复习专题5.3平面向量的数量积及其应用（讲）

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1、第03节平面向量的数量积及其应用【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测平面向量的数量积①理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系。②掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系。③会用坐标表示平面向量的平行与垂直。2013•浙江文17；理7，17；2014•浙江文9；理8；2015•浙江文13；理15；2016·浙江文理15；2017•浙江10,15.1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查.3.备考重点：(1)理解数

2、量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.【知识清单】1．平面向量的数量积及其运算一、两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.二、平面向量数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量

3、a

4、

5、b

6、·cosθ叫做a

7、与b的数量积，记作a·b，即a·b＝

8、a

9、

10、b

11、cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.2．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度

12、a

13、与b在a的方向上的投影

14、b

15、cosθ的乘积．三、向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.2．a⊥ba·b＝0.3．a·a＝

16、a

17、2，.4．cosθ＝.(θ为a与b的夹角)5．

18、a·b

19、≤

20、a

21、

22、b

23、.四、数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．五、数量积的坐标运

24、算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：1．a·b＝a1b1＋a2b2.2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0.3．

25、a

26、＝.4．cosθ＝＝.(θ为a与b的夹角)对点练习：【2017北京，理6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，使，即两向量反向，夹角是，那么T，若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A.2．向量的夹角与向量的模1.a·a＝

27、a

28、2，.2．cosθ＝.(θ为a与b的夹角)3

29、.

30、a·b

31、≤

32、a

33、

34、b

35、.对点练习：【2017浙江高三模拟】设，，是非零向量.若，则（）A.B.C.D.【答案】D.3．平面向量垂直的条件a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＝0.对点练习：【2017浙江嘉兴、杭州、宁波效实五校联考】在中，，，则的最小值为______，又若，则________.【答案】【解析】，所以当时，取最小值；因为，所以，由.【考点深度剖析】平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．【重点难点突破】

36、考点1平面向量数量积的运算【1-1】已知向量，，则（）A．2B．-2C．-3D．4【答案】A【解析】【1-2】已知向量与的夹角为60°，，，则在方向上的投影为（）A．B．2C．D．3【答案】A【解析】因向量，的夹角为，，，，则在方向上的投影为,故应选A.【1-3】【2017天津，理13】在中，，，.若，，且，则的值为___________.【答案】【领悟技法】1.平面向量数量积的计算方法①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝

37、a

38、

39、b

40、cosθ求解；②已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数

41、量积的运算律化简，再进行运算．【触类旁通】【变式一】【2016高考天津理数】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【变式二】已知向量，则在方向上的投影为（）A、B、C、D、【答案】D【解析】因为，所以，则，则在方向上的投影既是在方向上的投影为.【变式三】在矩形中，，点在边上，若，则的值为（）A．0B．C．-4D．4【答案】C【解析】考点2向量的夹角与向量的模【2-1】已知向量，，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】因为向量，，两式相加和相减可得，和；由数量积

42、的定义式知，.故应选B.