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时间:2018-12-04
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1、第八章不定积分§8.1不定积分的概念和基本积分公式例定义1:一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理:简言之:连续函数一定有原函数.问题:(1)原函数是否唯一?例(为任意常数)(2)若不唯一它们之间有什么联系?关于原函数的说明:(1)若,则对于任意常数,(2)若和都是的原函数,则(为任意常数)证(为任意常数)根据定义,如果F(x)是f(x)的一个原函数,则其中C是任意常数,称为积分常数。二、不定积分定义2函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分,任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量不定积分的相
2、关名称:———叫做积分号,f(x)——叫做被积函数,f(x)dx—叫做被积表达式,x———叫做积分变量。例1.例2.例3.解:-1O1xyy=x2函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。C1y=x2+C1C2y=x2+C2C3y=x2+C3函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线,而f(x)正是积分曲线的斜率。三、不定积分的几何意义例4.求过点(1,3),且其切线斜率为2x的曲线方程。解:设所求的曲线方程为yf(x),则yf(x)2x,即
3、f(x)是2x的一个原函数。因为所求曲线通过点(1,3),故31C,C2。于是所求曲线方程为yx22。-2-1O12x-2-112yyx2+2yx2(1,3).所以y=f(x)x2C。实例启示能否根据求导公式得出积分公式?结论既然积分运算和微分运算是互逆的,因此可以根据求导公式得出积分公式.四、基本积分公式基本积分表是常数);说明:简写为例求积分解根据积分公式(2)例1.例2.例3.例4.例5.例6.例7.例8.例9.例10.例11.例12.解:因为总成本是总成本变化率y的原函数,
4、所以已知当x=0时,y=1000,例13.某厂生产某种产品,每日生产的产品的总成成本为1000元,求总成本与日产量的函数关系。因此有C=1000,证等式成立.(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)五、不定积分的性质例14求积分解说明:以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形,才能使用基本积分表.解所求曲线方程为基本积分表(1)不定积分的性质原函数的概念:不定积分的概念:求微分与求积分的互逆关系小结;9dnhrPvSyWC#G&K-N@3>7^bleoisQwUAYD!H*L+1~4.8cmgqOtRxV
5、BZF%J(M=2<6:adnhrPvTzWC#G&K-0@3>7^blfpisQwUAYE$H*L+1~5;8cmgqOuSxVBZF%J)M=2<6:akenhrPvTzXD#G&K-0`4>7^blfpjtQwUAYE$I*L+1~5;9cmgqOuSyWBZF%J)N@2<6:akeoirPvTzXD!G&K-0`4.8^blfpjtRxUAYE$I(M+1~5;9dngqOuSyWCZF%J)N@3>6:akeoisQvTzXD!H*K-0`4.8clfpjtRxVAYE$I(M=2~5;9d
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