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时间:2018-12-05
《高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和2.5.1等比数列前n项和公式的推导与应用教案新人教a版必修5》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.5.1 等比数列前n项和公式的推导与应用项目内容课题2.5.1 等比数列前n项和公式的推导与应用(共1课时)修改与创新教学目标一、知识与技能1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题;2.探索并掌握等比数列前n项和公式;3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式,利用公式知三求一;4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.二、过程与方法1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学;2.发挥学生的主体作用,作好探究性活动.三、情感态度与价值观1.通过生活中有趣
2、的实例,鼓励学生积极思考,激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力;2.在探究活动中学会思考,学会解决问题的方法;3.通过对有关实际问题的解决,体现数学与实际生活的密切联系,激发学生学习的兴趣.教学重、难点教学重点1.等比数列前n项和公式的推导;2.等比数列前n项和公式的应用.教学难点等比数列前n项和公式的推导.教学准备多媒体课件教学过程导入新课师国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗?生知道一些,踊跃发言.7师“请在第一个格子里
3、放上1颗麦粒,第二个格子里放上2颗麦粒,第三个格子里放上4颗麦粒,以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.师假定千粒麦子的质量为40g,按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求?生各持己见.动笔,列式,计算.生能列出式子:麦粒的总数为1+2+22+…+263=?师这是一个什么样的问题?你们计算出结果了吗?让我们一起来分析一下.课件展示:1+2+22+…+263=?师
4、我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列,那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1,公比是2,求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和,就是求这个等比数列的前64项的和.现在我们来思考一下这个式子的计算方法:记S=1+2+22+23+…+263,式中有64项,后项与前项的比为公比2,当每一项都乘以2后,中间有62项是对应相等的,作差可以相互抵消.课件展示:S=1+2+22+23+…+263,①2S=2+22+23+…+263+264,②②-①得2S-S=264-1.264-1这个数很大,超过了1
5、.84×1019,假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨,因此,国王不能实现他的诺言.7师国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺,导致了一个很不幸的后果的发生,这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识,正是我们这节课所要探究的知识.推进新课[合作探究]师在对一般形式推导之前,我们先思考一个特殊的简单情形:1+q+q2+…+qn=?师这个式子更突出表现了等比数列的特征,请同学们注意观察.生观察、独立思考、合作交流、自主探
6、究.师若将上式左边的每一项乘以公比q,就出现了什么样的结果呢?生q+q2+…+qn+qn+1.生每一项就成了它后面相邻的一项.师对上面的问题的解决有什么帮助吗?师生共同探索:如果记Sn=1+q+q2+…+qn,那么qSn=q+q2+…+qn+qn+1.要想得到Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=1-qn.师提问学生如何处理,适时提醒学生注意q的取值.生如果q≠1,则有.师当然,我们还要考虑一下如果q=1问题是什么样的结果.生如果q=1,那么Sn=n.师上面我们先思考了一个特殊
7、的简单情形,那么,对于等比数列的一般情形我们怎样思考?课件展示:a1+a2+a3+…+an=?[教师精讲]师7在上面的特殊简单情形解决过程中,蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法,那就是“错位相减,消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.师在解决等比数列的一般情形时,我们还可以使用“错位相减法”.如果记Sn=a1+a2+a3+…+an,那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq,要想得到Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-anq.师再次提醒学生注意q的取值.如
8、果q≠1,则有.师上述过程如果我们略加变化一下,还可以得到如下的过程:如果记Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,那么qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,要想得到Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.如果q≠1,则有.师上述推导过程,只是形式上的不同,其本质没有什么差别,都是用的“错位相减法”.形式上,前一个出现的是等比数
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