2018年高考数学一轮复习专题5.4应用向量方法解决简单的平面几何问题讲

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1、第04节应用向量方法解决简单的平面几何问题【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测向量的应用会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2013•浙江文17；理7；2014•浙江文22；2017•浙江10.1.以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；2.与平面几何、三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，力学方面应用的考查较少.3.备考重点：(1)理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.【

2、知识清单】1．平面向量在几何中的应用1.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．2．共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.3.向量共线的充要条件的坐标表示若，则⇔.4.设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：（1）a·b＝a1b1＋a2b2.（2）a⊥ba1b1＋a2b2＝0.对点练习：法向量为的直线，其斜率为（）A.B.C.D.【答案】A.【解析】因为法向量为的直线，可知与已知直线垂直的直线的斜率为，那么可知已知直线的斜率为，选A.【考点深度剖析】平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的

3、形式出现.平面向量的应用问题，常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．【重点难点突破】考点1平面向量在几何中的应用【1-1】【2017浙江杭州二模】设为所在平面上一点，且满足.若的面积为8，则的面积为__________.【答案】14于是可得点在边上，，且，则，由，所以，所以，又因为，所以，则【1-2】【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°.若,则.ACBO(第12题)【答案】3【1-3】【2017浙江温州中学11月】如图

4、，在等腰梯形中，，，，点，分别为，的中点，如果对于常数，在等腰梯形的四条边上，有且只有8个不同的点使得成立，那么的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】如下图建立空间直角坐标系，由题意得，，，根据对称性可知，问题等价于在等腰梯形的每条边上均有两点（不含端点）满足，若在上：设，，其中，根据二次函数的对称性，∴；若在上：设，【领悟技法】共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证

5、明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．【触类旁通】【变式一】在中，若，则一定是（）.A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定【答案】C【解析】由于，化简得，因此.选C.【变式二】在平面四边形ABCD中，满足＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是(　　)．A．矩形B．正方形C．菱形D．梯形【答案】C【解析】因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形，又(－)·＝·＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．考点2平面向量的综合应用【2-1】【2016四川文】已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是()(A)(B

6、)(C)(D)【答案】B【解析】甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知，得，又，它表示圆上点与点距离平方的，，故选B.【2-2】【2017湖南长沙长郡中】已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C所以，当时，有最大值，当时，有最小值，故选C.【2-3】【2017江苏，16】已知向量（1）若a∥b,求x的值；（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3；时，取得最小值，为.【领悟技法】1.涉及三角问题求解方法：（1）去除向量的包装外衣，转化为由三角函数值求对应的角的值；（2）去除向量的包装外衣，转化为形

7、如：三角函数最值，但一定要关注自变量的范围.另外三角函数与代数函数一个很大的区别就是一般先要处理三角函数表达式，处理的结果之一就是转化为形如：，这一点很重要.2.涉及平面几何问题，往往通过平面向量的坐标运算，结合曲线的定义及曲线与曲线的位置关系，应用函数方程思想解题.【触类旁通】【变式一】已知两点，过动点作轴的垂线，垂足为，若，当时，动点的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】C【解析】设则,所