高考数学玩转压轴题专题1.3极值点偏移第一招__不含参数的极值点偏移问题

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1、专题1.3极值点偏移第一招--不含参数的极值点偏移问题函数的极值点偏移问题,其实是导数应用问题,呈现的形式往往非常简洁,涉及函数的双零点,是一个多元数学问题,不管待证的是两个变量的不等式,还是导函数的值的不等式,解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解,途径都是构造一元函数.例.(2010天津理)已知函数,如果,且.证明:构造函数,则,所以在上单调递增,,也即对恒成立.由,则,所以,即,又因为,且在上单调递减,所以,即证法三:由,得,化简得…,不妨设,由法一知,.令,则,代入式,

2、得,反解出,则,故要证,即证,又因为,等价于证明:…,构造函数,则,故在上单调递增,,从而也在上单调递增,,构造,则,又令,则,由于对恒成立,故,在上单调递增,所以,从而,故在上单调递增,由洛比塔法则知:,即证,即证式成立,也即原不等式成立.【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式,方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的,方法三、四则是利用构造新的变元,将两个旧的变元都换成新变元来表示,从而达到消元的目的.例.(2013湖南文)已知函数,证明:当时,【解析】易知,在上

3、单调递增,在上单调递减.招式演练:★已知函数,正实数满足.证明:.【解析】由,得从而,令,构造函数,得,可知在上单调递减,在上单调递增,所以,也即,解得:.★已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若方程有两个相异实根,,且,证明:.【答案】(Ⅰ)在(0,1)递增,在(1,+递减;(Ⅱ)见解析(2)由(1)可设的两个相异实根分别为,满足且,由题意可知又有(1)可知在递减故所以,令

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