应用高等数学(下册)

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1、``第7章拉普拉斯变换及其逆变换拉普拉斯变换是为了解决工程计算中遇到的一些基本问题而发明的一种“运算法”(算子法).这种方法的基本思想就是通过积分运算，把一种函数变成另一种函数，从而使运算变得更加简洁方便.拉普拉斯变换在电学、力学等众多的工程与科学技术领域得到广泛应用，特别是在电路分析和工程控制理论的研究中，在相当长的时期内，人们几乎无法将它们与拉普拉斯变换分开来谈论.本章将简要地介绍拉普拉斯变换的基本概念、主要性质、拉普拉斯变换的逆变换及拉普拉斯变换的简单应用.7.1拉普拉斯变换7.1.1拉氏变换的基本概念定义7.1设函数f(t)在区间e-s

2、tdt在s的某一取值范围内收敛，则此积分就确定了一个以s为自变量的函数，记为F(s)，即F(s)=∫+∞0f(t)e-stdt.函数F(s)称为f(t)的拉普拉斯变换(简称拉氏变换)，记为F(s)=L，函数F(s)也称为f(t)的像函数.若函数F(s)是f(t)的拉氏变换，则称f(t)是F(s)的拉氏逆变换(或称为F(s)的像原函数)，记为L-1，即f(t)=L-1.对拉氏变换的定义作如下说明：(1)在许多有关物理与无线电技术的问题中，一般总是把所研究的问题的初始时间定为t=0，当t＜0时没有过程或无实际意

3、义，因此在定义中只要求函数f(t)在区间(2)拉氏变换中的参数s是可以在复数域中取值的，但为了方便和问题的简化，本章只讨论s是实数的情况，所得结论也适用于s是复数的情况.(3)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数,它是一种积分变换.一般说来，在科学技术中遇到的函数的拉氏变换总是存在的.7.1.2几种常用函数的拉氏变换根据拉氏变换的定义容易求得下列常用函数的拉氏变换.1.指数函数f(t)=eat(t≥0,a为常数)的拉氏变换L=∫+∞0eate-stdt=∫+∞0e-(s-a)td

4、t=-1s-ae-(s-a)t+∞0.该积分在s＞a时收敛，并且有L=∫+∞0eate-stdt=1s-a,s＞a.2.幂函数f(t)=tn(t≥0,n是正整数)的拉氏变换L=∫+∞0tne-stdt=-tnse- st+∞0+ns∫+∞0tn-1e-stdt=ns∫+∞0tn-1e- stdt=nsL.特别地，L=1sL=1sL=1s2，所以L=nsL=…=n!sn+1.3.三角函数f(t)=sinω

5、t与f(t)=cosωt(t≥0)的拉氏变换L=∫+∞0`````sinωte-stdt=e-sts2+ω2(ssinωt+ωcosωt)+∞0 =ωω2+s2(s＞0),同理,L=sω2+s2(s＞0).7.1自动控制技术中常用的几个函数的拉氏变换1)单位阶梯函数及其拉氏变换函数u(t)=0,t＜01,t≥0称为单位阶梯函数(也称单位阶跃函数).单位阶梯函数的拉氏变换为L=∫+∞0u(t)e-stdt=∫+∞0e- stdt=-

6、1se-st+∞0=1s,s＞0.2)斜坡函数f(t)=at(t≥0,a为常数)的拉氏变换L=∫+∞0ate-stdt=a∫+∞0te- stdt=aL=a1s2=as2,s＞0.3)狄拉克函数(单位脉冲函数)及其拉氏变换 在许多实际问题中,常会遇到强度极大但持续时间极短的冲击性现象,如闪电、猛烈 碰撞，等等，这种瞬间作用的量不能用通常的函数表示，为此引入了狄拉克(Dirac)函 数.下面以碰撞为例说明狄拉克函数的概念.设打桩机在打桩时，质量为m的锤以速度v0撞击钢筋混凝土桩，在极短的时间

7、(0, τ)(τ为一个很小的正数)内，锤的速度由v0变为0，由物理学中的动量定律知，桩所 受到的冲击力为F=mv0τ.所以作用时间越短(即τ的值越小)，冲击力就越大. 为了便于讨论，不妨设mv0=1，若将冲击力F看做时间t的函数，可以近似表示为Fτ(t)=0,t<01τ,0≤t≤τ.0,t>τ对于上述碰撞现象最恰当的处理方法是令τ→0，如果t≠0，则Fτ(t)→0；如果t=0，则Fτ(t)→∞，即F(t)=limτ→0Fτ(t)=0,t≠0,∞,t=0.对于函数Fτ(t)的极限F(t)=limτ→0Fτ(t

8、)，已经不能用已学过的普通函数来表示，对于具有这种特性的式子给出如下定义.定义7.2设δτ(t)=0,t<0,1τ,