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时间：2018-12-04
《[理学]中国石油大学华东线性代数5-7教辅资料》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5.7正定二次型一、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．实际上，当我们限定所用的变换为实变换时，二次型的标准形还有如下一些性质．证明：由上面定理知，存在正交矩阵P，使得结论：且令则K可逆这个定理称为惯性定理，这里不予证明。二次型的标准形中，正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数。为正定二次型为负定二次型二、正(负)定二次型的概念例如证明充分性故三、正(负)定二次型的判别必要性用反证
2、法。故推论 对称矩阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正．这个定理称为霍尔维茨定理．定理3对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即正定矩阵具有以下一些简单性质例1判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.例2判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知是正定矩阵，例3判别二次型的正定性.解2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.四、小结1.正定二次型
3、的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导．思考题思考题解答
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