数据结构 图的算法

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1、1.最短主树P算法：顺序取端，边取最小 图中端间最短路径计算Dijkstra算法（当路径权值均为正数时应用）１ 最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括：（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在

2、有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。２ Dijkstra算法2.1 Dijkstra算法　　Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要

3、特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。　2.2 Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径,就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用

4、U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。2.3 Dijkstra算法具体步骤　　（1）初始时，S只包含源点，即S＝，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或）（若u不是v的出边邻接点）。（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是

5、v到k的最短路径长度）。（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（uU）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。此方法用到了，某两点之间的最短路径，上的子路径肯定也是最短的，：每次更新都是得到通过当前已知最短路径可达那些未知最短路径点的最短路径值。Bellman-Ford算法与另一个非常著名的Dijkstra算法一样，用于求解单源点最短路径问题。Bellman-ford算法除了可求解边权均非负的问题外，还可以解决存

6、在负权边的问题（意义是什么，好好思考），而Dijkstra算法只能处理边权非负的问题，因此Bellman-Ford算法的适用面要广泛一些。但是，原始的Bellman-Ford算法时间复杂度为（VE）,比Dijkstra算法的时间复杂度高。Bellman-Ford算法思想Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源点最短路径问题。对于给定的带权（有向或无向）图G=（V,E），其源点为s，加权函数w是边集E的映射。对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路，算法将给出从

7、源点s到图G的任意顶点v的最短路径d[v]。Bellman-Ford(G,w,s)：boolean  //图G，边集函数w，s为源点1       foreachvertexv∈V（G）do       //初始化1阶段2           d[v]←+∞3       d[s]←0;                            //1阶段结束4       fori=1to

8、v

9、-1do              //2阶段开始，双重循环。5          foreachedge（u,v）∈E(G)do//边集数组要用到，穷举每条边