读教材填要点教学课件

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1、[读教材·填要点]贝努利(Bernoulli)不等式如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n>.1＋nx[小问题·大思维]在贝努利不等式中，指数n可以取任意实数吗？提示：可以．但是贝努利不等式的体现形式有所变化．事实上：当把正整数n改成实数α后，将有以下几种情况出现：(1)当α是实数，并且满足α>1或者α<0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x>－1)．(2)当α是实数，并且满足0<α<1时，用(1＋x)α≤1＋αx(x>－1)．[研一题][悟一法][通一类][研一题][精讲

2、详析]本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n取特值，猜想Pn与Qn的大小关系，然后利用数学归纳法证明．(1)当n＝1,2时，Pn＝Qn.(2)当n≥3时，(以下再对x进行分类)．①若x∈(0，＋∞)，显然有Pn>Qn.②若x＝0，则Pn＝Qn.③若x∈(－1,0)，则P3－Q3＝x3<0，所以P3

3、完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立．(2)本题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化，变量x也影响Pn与Qn的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n”，而忽视其他变量(参数)的作用．[通一类]2．已知数列{an}，{bn}与函数f(x)，g(x)，x∈R，满足条件：b1＝b，an＝f(bn)＝g(bn＋1)(n∈N*)．若函数y＝f(x)为R上的增函数，g(x)＝f－1(x)，b＝1，f(1)<1，证明：对任意n∈N*，an＋1

4、：因为g(x)＝f－1(x)，所以an＝g(bn＋1)＝f－1(bn＋1)，即bn＋1＝f(an)．下面用数学归纳法证明an＋1

5、当n＝k＋1时，结论也成立．根据(1)和(2)可知，对任意的n∈N*，an＋1n2成立．下面用数学归纳法进行证明．当n＝1时

6、，31＝3>1＝12，命题成立．假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，3k>k2成立，则有3k≥k2＋1.对n＝k＋1,3k＋1＝3·3k＝3k＋2·3k≥k2＋2(k2＋1)>3k2＋1.∵(3k2＋1)－(k＋1)2＝2k2－2k＝2k(k－1)≥0，∴3k＋1>(k＋1)2，∴对n＝k＋1，命题成立．由上知，当t＝3时，对一切n∈N＋，命题都成立．本课时考点常与数列问题相结合以解答题的形式考查数学归纳法的应用.2012年全国卷将数列、数学归纳法与直线方程相结合考查，是高考模拟命题的一个新亮点．[考题印

7、证](2012·大纲全国卷)函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4,5)、Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标．(1)证明：2≤xn＜xn＋1＜3；(2)求数列{xn}的通项公式．[命题立意]本题考查数学归纳法证明不等式问题，考查学生推理论证的能力．点击下图片进入: