矩阵运算的计算机方法及稀疏距阵

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1、第一章矩阵运算的计算机方法及稀疏距阵现代电路分析国家电工电子教学基地电路理论系列课程组2005.3现代电路分析课程知识要点经典电路分析知识要点计算机辅助分析及工具应用矩阵方程建立初步矩阵方程建立的一般方法矩阵运算的计算机方法非线性电路分析初步非线性电路方程建立的一般方法有源滤波电路分析初步电路的参数分析国家电工电子教学基地电路理论系列课程组2005.3本章主要内容及要求了解LU分解法解线性方程组原理、应用及算法了解高斯消元法解线性方程组原理、应用及算法了解稀疏矩阵原理国家电工电子教学基地电路理论系列课

2、程组2005.3第一节计算数学的几个基本概念现代电路分析第一章国家电工电子教学基地电路理论系列课程组2005.3利用计算机解决实际问题，通常要按以下步骤进行：（1）建立数学模型，即把实际问题抽象为一个数学问题，他可以是一个方程组、一个函数、一个微分方程等。（2）选择数值方法，要考虑所能达到的精度，计算量，方法对数据微小扰动的灵敏度。（3）编写程序，上机计算。计算数学的几个基本概念国家电工电子教学基地电路理论系列课程组2005.31、算法2、计算量例：计算x255按原型计算，计算量254次浮点运算改用x

3、255=x*x2*x4*x8*x16*x32*x64*x128只需14次浮点运算。计算数学的几个基本概念国家电工电子教学基地电路理论系列课程组2005.3例：设A，B，C，D分别为10*20，20*50，50*1，1*100的矩阵用不同算法求矩阵乘积，E=ABCD。根据矩阵乘除法的结合率，采用下列三种算法：（1）E=[(AB)C]D计算量是11500次浮点运算（2）E=A[B(CD)]计算量是125000次浮点运算（3）E=[A(BC)]D计算量是2200次浮点运算显然算法3效率最高。计算数学的几个基

4、本概念国家电工电子教学基地电路理论系列课程组2005.3例：Cramer法则求解n元线性方程组要计算n+1个行列式和n次除法计算一个n阶行列式的计算量约为(n+1)(n!)求解n阶线性方程组的总计算量是N=[(n+1)(n-1)(n!)+n]次浮点运算。当n=20时，计算量为9.707*1020如果在每秒１亿次运算速度的计算机上运行需要31.2万年，这对于高阶方程组是毫无实用价值计算数学的几个基本概念国家电工电子教学基地电路理论系列课程组2005.33、误差的基本概念：准确值和近似值之间的差异就是所谓

5、的误差。误差产生主要是以下四个来源：（１）模型误差（２）观测误差（３）截断误差（４）舍入误差绝对误差、相对误差、有效数字计算数学的几个基本概念国家电工电子教学基地电路理论系列课程组2005.34、良态与病态问题：如果初始数据的微小变化导致计算结果的剧烈变化，这样的问题称之为病态问题。他是问题固有的一种属性。数据的变化小于0.34，而函数的变化22.4，因此在接近根处是一个病态问题。计算数学的几个基本概念国家电工电子教学基地电路理论系列课程组2005.3上式根为1，2，3…20左边展开后，x的19次方的

6、系数为-210若换为-210.000000119，其余各项不变再求解，则根20变为20.847根18和19则变为一对共轭复数19.502±1.940i显然这是一个病态问题。计算数学的几个基本概念国家电工电子教学基地电路理论系列课程组2005.3若把方程的系数取三位小数计算数学的几个基本概念国家电工电子教学基地电路理论系列课程组2005.3假定计算机字长为8，解为计算机字长为8，解为计算数学的几个基本概念国家电工电子教学基地电路理论系列课程组2005.3数值计算中值得注意的事项:（1）要避免两个相近的数

7、相减。（2）防止大数吃掉小数。（3）防止接近零的数作除数。（4）减少运算次数。（5）防止舍入误差被放大。计算数学的几个基本概念国家电工电子教学基地电路理论系列课程组2005.3习题1.1计算数学的几个基本概念国家电工电子教学基地电路理论系列课程组2005.3第二节高斯消元法解线性方程组矩阵运算的计算机方法国家电工电子教学基地电路理论系列课程组2005.3线性方程组的一般形式国家电工电子教学基地电路理论系列课程组2005.3n×n矩阵的行列式：需要(n-1)×n!次复数乘法对11个节点的电路需要：326

8、59200次乘法对21个节点的电路需要：4.6×1019次乘法用每秒亿次计算机：高斯法约为330次乘除运算高斯法约为2660次乘除运算线性方程组经典解法（克莱姆法则）国家电工电子教学基地电路理论系列课程组2005.3举例说明高斯消元法初等行变换回代原理：通过初等变换化为三角矩阵国家电工电子教学基地电路理论系列课程组2005.3高斯消元算法说明a11x1+a12x2++a1nxn=a1,n+1a21x1+a22x2++a2nxn=a2,n+1