关于渔场鱼的数量的模型和鱼资源稳定问题

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1、河南城建学院〔学建模与数学实验》课程设计专业数学与应用数学学号姓名指导教师数理系2012年6月目录—.觀二.关键词三.问题重述四.问题背景五.问题分析六.建模过程（一）符号说明（二）模型假设（三）模型的建立与求解（四）模型分析七.模型的评价与改进八.参考文献关于渔场鱼的数量的模型和鱼资源稳定问题摘要：本文通过建立两个模型，解决了如何描述该渔场鱼的数量的数学模型及如何保持鱼资源的稳定问题。第一个模型是建立在无捕捞的条件下渔场鱼量增长服从logistic模型，第二个模型建立在第一个模型的基础上£L有捕捞条件。通

2、过模型的建立可知，当捕捞强度在一个值吋鱼资源保持稳定。关键词：渔场鱼的数量捕捞强度稳定点正文一、问题重述一个渔场中的鱼资源若不进行捕捞则按自限规律增长，若在渔场中由固定的船队进行连续作业，单位时间的产量与渔场中鱼的数量成正比，比例系数为k。试建立描述该渔场ft的数量的数学模型，并讨论如何控制k,使渔场的鱼资源保持稳定。二、问题的背景为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源(如渔业、林业资源等)的开发必须适度，因此渔场鱼的数量及如何保持鱼资源的稳定问题的研宄很有必要。三、问题分析⑴在自然环境无捕捞的情况下，

3、由于受到渔场水的温度、湿度、含氧量、包括饲料以及种群竞争等的影响，渔场鱼量按自限规律增长，符合logistic增长规律。(2)在有捕捞的情况下，由固定的船队进行连续作业，即说明捕捞不受其他偶然因素的影响，t足够长时间内捕捞船队数稳定不变，由单位时间的产量与浼场中鱼的数量成正比，比例系数为IA的大小不确定，主要影响捕捞量的是捕捞强度A，如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定，如何控制捕捞强度A，使渔场鱼资源保持稳定。四、建模过程(一)模型假设1记时刻t漁场鱼量为x(t),漁场是个封闭的漁

4、场，不考虑鱼群迁入和迁出的影响，并且假设它使处于自然的情况(没有人的作用)，人类活动对其生存不产生影响；2在自然无捕捞情况下，鱼的增长存在自然阻力，且考虑鱼的年龄、产卵、孵化等因素，设自然增长的情况下渔场鱼量的增长服从logistic规律xt)-f(x)=rx1；N>3在有捕捞的情况下，设每次开始捕鱼时渔场中各年龄组群条数不变。渔场中由固定的船队进行连续作业，单位时间的产量与渔场中鱼的数量成正t匕，/i(x)=kx；4假设鱼群内部因素对其生存率的影响不大。5假设鱼的市场价格的变化对船队捕捞的鱼的数量有影

5、响，即捕捞强度々是受其影响的。(一)符号说明4)：漁场中鱼的数量r:固有增长率N：环境能容纳的最大鱼量/W：在无捕捞的情况下单位时间内鱼的增长量:在.有捕捞的情况下单位时间内鱼的增长量々：捕捞强度单位吋间产量寒型的建立与求解1数量模型：在无捕捞的情况下，鱼的自然增长服从logistic规律，即(i)/(r)=f(x)=rx1--^我们解方程(1)以得到X(t)的动态变化过程对⑴式进行积分，解得X—tnJ在有捕捞的情况不，渔场鱼量满足h(x)=kx%’(，)=F(x)=rx1-—-h(x)

6、)以得到x(t)的动态变化过程对(3)式进行积分，解得rx1——t-kxtInJ2稳定性模型我们希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，即吋间t足够长以后渔场鱼量x(t)的走向，为此可直接求方程(3)的平衡点并分析其稳定性。由微分方程稳定性理论，令(xF(x)=rx1-kx=O⑶N)求得两个平衡点1-一x,=0(四)模型分析1数量模型分析对于logistic规律的推导:在r到z+~这段时间内渔场鱼的数量j)的增长量为.v(/+Az)-x(z)=rx(/)Az于是满足微分方程将上式改写成dx~dt=kxd

7、xrdt于是变量％和f被“分离”，两边积分得inx=rt+c这里5为任意常数。由对数的定义，上式变为x=cert②其中。因亦是方程的解，因此可以是任意常数。如设初值条件为时，.v(z)=x0③代入上式可得c-即方程①的满足初值条件③的解为x(f)=④如果，上式说明渔场鱼量％(f)将按指数规律无限增长。将以1年或10年为单位离散化，那么可以说，浼场鱼量是以为公比的等比数列增加的。当渔场鱼量不大时，生存空间资源等极充裕，渔场鱼量指数增长是不可能的。但当渔场鱼量非常大吋，指数增长的线性模型则不能反映这样一个事实：

8、环境所提供的条件只能供养一定数量的鱼生存，所以上述模型在X(z)很大时是很不合理的。为此，我们设々=,即々随O的增加而减少，当冰；I+N时，々^0.按此假定，渔场鱼量指数增长的方程应该改为dx~dt这就是logistic模型。在无捕捞情况下，由上述logistic规律建立数量模型，解得有捕捞情况下，在logistic规律的基础上建立模型，解得rx1——t■kxtInJ该模型的使用范围是：在一定的空间区域内，不考虑