初中数学竞赛第二轮专题复习几何

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1、初中数学竞赛第二轮专题复习（2）几何证明的基本方法（1）一、常用定理梅涅劳斯定理设况仏，（7分别是AABC的三边BC,CA，AB或其延长线上的点，若A’，B’，C’三点共线，则BA1CB1AC_1AT041CRAC梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若——二1.则三点共线。A'CB'ACB塞瓦定理设分别是AABC的三边BC，CA,AB或其延长线上的点，若P4*厂AC'三线平行或共点，则^-•■^•2^=1.A'CB'ACB塞瓦定理的逆定理设>4’,打’，（？分别是人41^的三边BC，CA,AB或•其延长线上的点，若BA1CB'ACA'CB'ACB=1.

2、则AABBCC三线共点或互相平行。角元形式的塞瓦定理/1，斤，（?’分别是八八1^的三边BC,CA,AB所在直线上的点，则A/V,fiZT，CC’平行或共点的充要条件是sinZBAA'sinZA'ACsinZACC'sinZC*CBsinZCBg’」sinZB.BA—.广义托勒密定理设ABCD为任意凸四边形，则ABAOBD,当且仅当A,B,C,D四点共圆时取等号。斯特沉特定理设P为AABC的边BC上任意一点，P不同于B,C,则有22PCBPAP2=AB-*——+AC~*——-BP•PC.BCBC欧拉定理△ABC的外心0,垂心n

3、，重心G三点共线，且=2二、基本方法（一）线段相等证明两线段相等常可从如下角度去考虑：（1）从角考虑：在同一三角形中等角对等边，在同圆或等圆中等圆周角对等弦、等圆心角对等弦；（2）从线考虑：线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，平行的两直线间的距离相等，关于某直线（或某点）对称的两点到直线（或某点）的距离相等，圆的垂径平分弦相等，两圆的内（或外）公切线长相等，从一点向圆引的两条切线氏度相等；（3）从形考虑：全等形的对应边相等，特殊多边形屮的边与边、边与对角线、对角线与对角线之间相等，和差、倍分（例如，直角三

4、角形斜边上的屮线等于斜边的一半，含30（>的直角三角形的斜边是30u角所对边的两倍），三角形、梯形的中位线与底边的关系，平行四边形的对边相等，对角线互相平分等等；（4）从计算考虑：可直接计算两线段相等，可通过等量代挽转算，可利用比例式、等积式转算，还可利用一系列定理、公式，例如边比定理、张角公式等等.1.1利用三角形中等角对等边:例题1:如图，设I为AABC内切圆圆心，而与点A不同的点D是直线AI与AABC外接圆的交点，求证：DB=DC=DI.1.2利用平行四边形对边相等：例题2:求证：如果圆的内接四边形的两条对角线互相垂直，则从对角线交点至一边

5、中点的线段等于圆心到这一边的对边的距离.1.3利用圆中几类角间关系:例题3:如图，在AABC屮，AB

6、利用三角函数式计算等间接计算平而几何中的线段和角度问题，宛如郁郁葱葱，茫无际涯的森林，构成了枝繁叶茂，生机勃勃的几何度量问题林海，这两类问题总是相互联系，相互作用，相互依存，相互制约着的，因而这两类间题的求解思路，也是相互利用，相互关联的.1.1利用相似三角形对应角相等：例题1:如阁，设圆內接锐角AABC,过从B、C为切点的切线相交于点N,取BC的屮点M,试证：ZBAM=ZCAN.1.2利用角平分线及内心性质：例题2:如图，设0C是圆S,的一条弦，今知以0为圆心的圆52与0C相交于点D,点D不与点C重合，且圆S2与圆SjS交于点A和B,证明：DC

7、平分ZACB.1.3利用内角平分线逆定理：例题3:如图，PA、PB、PC、d，且一+—=—+—，又AB、abed平分ZCPD.（三）证明平行论证两直线平行，常从如下儿方面着手，从角考虑：（1）通过证被第三条直线截得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等來确定两直线平行；（2）从线考虑：通过证两直线同垂直（或同平行）于第三条直线來确定两直线平行；（3）从形考虑:通过证两直线上的线段是某些特殊图形，如平行四边形的一组对边，三角形或梯形的中位线和底边等来确定两直线平行；（4）从比例式考虑:通过证对应线段成比例來确定过对应分点的直线平行；（5）从有关结

8、论來考虑，在有关图形中，有一些美妙的结论，如同圆中夹等弧的两弦（或一弦与一切线）平行，过相交（或相切）两圆交点的割线交两圆于四点，同一圆