分子对称和点群

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1、第三章分子对称性和点群分子具有某种对称性.它对于理解和应用分子量子态及相关光谱有极大帮助.确定光谱的选择定则需要用到对称性.标记分子的量子态需要用到对称性.3.1对称元素对称性是指分子具有两个或更多的在空间不可区分的图象.把等价原子进行交换的操作叫做对称操作.对称操作依赖的几何集合(点,线,面)叫做对称元素.3.1.1n重对称轴,Cn(转动)转角I为恒等操作主轴:n最大的轴。产生n-1个转动。3.1.2对称面,(反映)2=Ih:垂直于主轴的对称面v:包含主轴的对称面d:包含主轴且平分两个C2轴的对称面3.1.3.对称中心,i(反演)i2=

2、I3.1.4n重旋转反映轴,SnSn=hCn由于S1=hC1=,S2=hC2=i所以S1和S2无意义.3.1.5恒等元素,E或I所有分子都具有恒等元素E(有时也写为I).是保持群论规则必需的元素.Sn=hCn=Cnh3.1.6元素的生成v=vC2,v包含CH2面,而v包含CF2面.对Cn,会产生(n-1)个对称操作.如:类似地,v=vC2,C2=vv（注意顺序）当n为偶数时,当n为奇数时,例:3.2群的定义和基本性质定义:群G是一个不同元素的集合{A,B,…,R,…},对于一定的乘法规则,满足以下四

3、个条件:1)封闭性群中任意两个元素R和S的乘积等于集合中另一个元素,T=RS2)结合律A(BC)=(AB)C3)有唯一的恒等元素E,使得对任意群元素R,有RE=ER=R4)每个元素R必有逆元素R-1,使得RR-1=R-1R=E性质:1)若AB=AC则B=C2)(AB)–1=B–1A–1因为(AB)(AB)–1=ABB–1A–1=AA–1=E例2.数的集合{1,-1,i,-i},乘法规则为代数乘法,则构成一个群.恒等元素为1.数(-1)的逆元素为(-1).数(i)的逆元素为(-i).例1.全部整数的集合,乘法规则为代数加法,则构成一个群.恒等元素为0

4、.数n的逆元素为(-n).封闭性和结合律是显然的.例3.空间反演群{E,i},i为空间反演操作.i2=E例4.D3={e,d,f,a,b,c}e:恒等操作d:绕z轴顺时针转动120f:绕z轴顺时针转动240a:绕a轴顺时针转动180b:绕b轴顺时针转动180c:绕c轴顺时针转动180故ad=bD3群的乘法表每一行和每一列都是所有群元素的重排ad=b,da=c例5.求3阶群的乘法表.(错)G={E,A,A2}(循环群)(?)群的阶:有限群中群元素的个数.如D3群的阶为6.循环群:整个群是由一个元素及其所有的幂产生.如:子群:设H是群G的非空

5、子集,若对于群G的乘法规则,集合H也满足群的四个条件,则称H是G的子群.显然,恒等元素E和群G自身是固有子群.例.在D3={e,d,f,a,b,c}中,子集{e,d,f},{e,a},{e,b},{e,c}都是子群.共轭元素:B=X-1AX(X,A,B都是群G的元素)元素的共轭类:一组彼此共轭的所有元素集合称为群的一个类.f类={x-1fx,x取遍所有的群元素}(A和B共轭）例.求D3的所有共轭类D3={e,d,f,a,b,c}e类:x-1ex=ed类:a-1da=ac=fa类:b-1ab=bd=cd-1ad=fb=cc-1ac=cf=b所以D3的

6、共轭类为:{e},{d,f},{a,b,c}3.3点群分子的所有对称元素构成分子的点群.这些对称元素至少保持空间中的一点(分子质心)不变,从而成为点群.如H2O的所有对称元素为:1.Cn点群2.Sn点群(n为偶数)3.Cnv点群有一个Cn轴和n个包含该轴的对称面vCv4.Dn点群有一个Cn轴和n个垂直于该轴的C2轴.(暂没有实例）5.Cnh点群有一个Cn轴和一个垂直于该轴的对称面h.6.Dnd点群有一个Cn轴,一个S2n轴,n个垂直于该轴的C2轴,n个平分C2轴的对称面d.7.Dnh群有一个Cn轴,n个垂直于该轴的C2轴,1个垂直于该轴的对

7、称面hD3hH2为Dh8.Td点群有4个C3轴,3个C2轴,6个对称面d.正四面体对称群.9.Oh点群有3个C4轴,4个C3轴,3个h,6个对称面d,对称中心i.正八面体对称群.3.4群的表示3.4.1向量和矩阵向量具有一定的大小和方向.是数的有序排列,代表在坐标轴上的投影.矩阵是由数值或符号组成的长方形列阵.如行列维数:每行和每列中矩阵元的个数.矩阵加法:矩阵乘法:矩阵与向量的乘法:（i＝1,2,3)矩阵的迹(trace)或特征标(character):相似变换:(S为正交矩阵)证明:(这个性质在群表示中很有用）矩阵的直和m阶矩阵A与n

8、阶矩阵B的直和为由下式定义的m+n阶矩阵C：符号代表直和。这个概念很容易推广到多个矩阵的直和。例如矩阵的直和是下面的六阶方