大学生数学竞赛竞答试题(专业组).doc

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1、大学生数学竞赛试题(数学专业组)1.求平面与椭球之间的最短距离（令，），试用代数式表示并讨论平面在椭球外面的条件。（10分）2.利用定积分求极限.（10分）3.证明：若函数在连续，在内存在二阶导数，且，,其中，则在内至少存在一点，使。（10分）4.证明：函数在内连续.（10分）5.求积分;.（10分）6.设为从原点到球面上的点的切平面的距离，求积分，其中为球面.（10分）7.证明下列命题：(1).如果多项式不全为零，证明：与互素。(2).证明：是的重根的充分必要条件是而.（10分）8.设数域上的级矩阵的元为（1）.求;(2

2、).当时，.求齐次线性方程组的解空间的维数和一个基。（10分）9.设是数域上维线性空间上的一个线性变换，用表示上的恒等变换，证明：.（10分）10.设矩阵，已知线性方程组有解但不唯一，试求：(1)的值；(2)正交矩阵，使为对角矩阵，其中表示的转置（求和）.（10分）