对无穷的深入思考康托尔的集合论

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1、第八讲对无穷的深入思考—康托尔的集合论旧知回顾无穷集合（元素个数无穷）——一个“矛盾”的集合.以前的自然数集合指的是正整数集合;现在规定0也属于自然数集.Aristotle（亚里士多德）考虑过无穷集合，他认为潜在的无穷（大）需要和真实的无穷（大）加以区别.历史留声机旧知回顾导入新课微积分——重建数学基础.微积分理论遇到严重的逻辑困难.对微积分基础的严密论证成为集合论产生的一个重要原因.悖论：我们把自相矛盾的命题称为悖论.数学家们为了解决类似的“悖论”，200多年后诞生了整个数学基础的学科——集合论.集合论的产

2、生二.无穷集合论的创立教学目标知识与能力了解集合的概念.能够比较两个集合的势的大小.康托尔的集合论思想.过程与方法通过社会背景了解当时人们的无穷观念.查阅课外资料理解康托尔的集合论思想.情感态度与价值观学习数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神，培养创造性思维力.教学重难点重点难点康托尔的集合论思想.比较两个集合的势的大小.1.建立集合理论的最早尝试内容解析在重建微积分理论的过程中，Bolzano（波尔查诺）是第一个朝着建立集合的明确理论方向采取了积极步骤的人.波尔查诺（B.Bolzano，1781-1848）

3、——捷克著名的数学家.早在康托尔之前，就已经为建立集合论作出了努力.波尔查诺的观点：支持实无穷集合的观点.强调两个集合等价的概念.对于无穷集合，可以指定一种数叫超限数，使不同的无穷集合有不同的超限数.例子无限集合的部分子集可以等价于整体，例如0到5之间的实数可以通过公式与0到12间的实数构成一一对应，虽然和第二个数集包含了第一个数集，但是他同样也遇到了一些问题在他看来属于悖论的，因此他认为这些不必深入研究.xy0012.42.560.51.25122.康托尔的集合论思想1874年开始，康托尔的集合论思想的文章

4、分别发表在《克雷尔数学杂志》和《数学年鉴》上.康托尔其人康托尔（GeorgCantor，1845-1918，德）德国数学家，集合论的创始者.1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷.其父为迁居俄国的丹麦商人.康托尔11岁时移居德国,在德国读中学.1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学.康托尔的贡献给出了集合（set）的概念集合为一些确定的﹑不同的东西的总体，这些东西人们能意识到，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.明确指出那些认为只有潜无穷集

5、合的人是错误的.如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，那么它就是无穷的.将集合论的概念推广到了n维欧几里得空间的点集.两个元素能够一一对应的集合，称为是等价的或具有相同的“势”.“势”的概念可以应用于有限集合.如果两个有限集合的元素个数相同，就可以说他们是等价的或等势的.有两个集合M和N，如果在M和N这两个集合中，N能与M的一个子集构成一一对应，而M不可能与N的任何子集构成一一对应，就说M的势大于N的势.例子过去数学家认为靠得住的只有限，而康托尔把无穷分成许多“层次”.在最初阶段，康托尔主要证明了无穷之间

6、也有差别，既存在可数的无穷，比如自然数集，也存在那种像实数集合那样不可数的无穷.3.不朽的康托尔康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者.是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一.他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造.中学阶段便激发了对数学的热爱，定下决心投身纯粹数学，并为之不断努力.中学毕业时，学校的评语是这样的：“六年一班学生康托尔是一个有很高天赋，发展全面的学生，在数学方面尤为突出，具备了出色的从事自然科学研究的预备知识和能力.”少年立志钻研纯粹数学“离经叛道”的理论受到

7、来自四面八方的攻击克罗内克vs希尔伯特康托尔彭加勒菲利克斯．克莱因坚持科学所付出的代价在40岁的时候，他患了精神分裂症，在他生命的最后几十年里，这种精神病时时发作，使他不得不经常住到精神病院的疗养所去.长期的精神折磨所造成的危害是不容忽视的.由于健康状况逐渐恶化，1918年，他在哈雷大学附属精神病院去世.康托尔创造的精神乐园康托尔的集合论为数学史翻开了崭新的一页.集合论是现代数学中重要的基础理论.如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解.所以集合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义，而且对现代

8、数学的发展也有深远的影响.数史留言“康托尔不朽的功绩在于向无限冒险前进.”————科尔莫格洛夫“我的理论坚如磐石，任何想要动摇它的人都将搬起石头砸自己的脚…更重要的是，我已追溯到这一理论最终无可怀疑的根源.”————康托尔课堂小结波尔查诺关于集合的观点.康托尔提出的“集合”的概念.比较两个集合的势的大小.两个元素能够一一对应的集合，称为是等价的或具有相同的“势”.比较两个集合的势的大小.康托尔证明了