不随时间改变的电磁场

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1、第二章不随时间改变的电磁场1、静电场和静磁场2、用分离变量法求解拉普拉斯方程3、电象法4、电荷体系在外场中的能量12.1静电场和静磁场（Jf和f为自由电荷和传导电流）2边值关系一、电势电场对电荷作的功与路径无关，只与起点和终点的位置有关电场对电荷作正功，电势下降。3电场强度的梯度等于电势的负梯度只有势的差值才有物理意义，如果电荷分布于有限区域，通常选取无穷远处的电势为零。若电荷连续分布4二、势的方程及边值关系（泊松方程）（为自由电荷密度）在界面上，电势连续在分界面上，电势的边值条件5n为界面上由介质l指向

2、介质2的法线，为界面的自由电荷面密度导体的静电条件及导体表面的边值关系(1)导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上(2)导体内部电场为零(3)导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，导体表面的电势处处相等6三、唯一性定理设区域V内给定自由电荷分布(x)，在V内的边界S上给定（1）电势或（2）电势的法向导数,则V内的电势唯一地确定。导体表面的边值关系＝常量7例1：求均匀电场E0的电势（第55页）8例2：两块接地的无限大导体板相互平行，在两板间区域内分布着自由电荷求导体板间的电场分布和板上感应电

3、荷面密度解：直角坐标系中的泊松方程为而与y和z无关，9边界条件因此电场强度为左板感应电荷面密度右板感应电荷面密度（自由电荷与感应电荷符号相反）10例3：无限长圆柱导体，半径为a，单位长度荷电为，求导体柱外的电势和电场。解：在柱坐标系中在球坐标系中导体柱外的泊松方程11边界条件为：(1)在导体表面电荷密度(2)选择电势参考点。在本题中，导体柱无限长，电荷分布在无限空间，不能选无限远处电势为零，可选择在某一个柱面上r=R0（R0>a）为零，即方程的解为最后求得12例4：在介电常数为的液面上浮着一半径为a的带

4、电导体球，电量为Q。导体一半浸入液体中，一半在空气中（介电常数0）(见图)。求电势、电场和导体表面电荷分布。解：以球心为原点选取球坐标，极轴垂直液面向上。设液体中和空气中的电势分别为1和2，在两个区域中有边界条件是：13（1）（2）边值关系为（3）（4）14由于轴对称性，电势与方位角无关。又因为导体表面等势，所以在上、下两个半球，都与无关。由此推测1、2都只与r有关。设这个解满足边界条件（2）及边值关系（4），利用边值关系（3），有根据边界条件（1），得15所以电位移矢量D为电场强度为16上、

5、下半球上电荷面密度请参阅课本中第62页的例题172.2用分离变量法求解拉普拉斯方程如果自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布，那么选择这些导体表面作为区域V的边界，则在V内部自由电荷密度=0，因而泊松方程化为比较简单的拉普拉斯（Laplace）方程如果求解的问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势不依赖于方位角，在球坐标系中拉氏方程的通解为18为勒让德函数，an和bn待定常数，由边界条件确定。例1一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷Q，同心地包围着一个半径为Rl的导体球

6、(Rl＜R2)．使这个导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷．（P64）192021例介电常数为的介质球置于均匀外电场E0中，求电势。设球半径为R0，球外为真空，这问题具有抽对称性，对称轴为通过球心沿外电场E0方向的轴线，取此轴线为极轴。解：极化电荷只存在介质球的表面，在球内和球外的两个区域没有自由电荷，故电势满足拉氏方程。球外：22球内：（1）在无穷远处，，则所以（2）R=0,2为有限值，因此23（3）在介质球面上，（R=R0）代入1、2的方程中比较P1的系数，可得24由此求得比较其他P

7、n项的系数，可得最后25电象法的基本思路是：利用点电荷电场的特性，用区域以外假想的点电荷代替导体表面感应电荷分布或介质界面的电荷分布对区域内电场的影响，同时保证边界条件得到满足。这样，区域内真实的点电荷与区域外假想的点电荷在所研究区域内产生的总电场就是所求的电场。2.3电象法26例:设在一无限大接地导体平面上方，与平面相距为d处，有一点电荷q，求平面以上空间内的电势分布及导体面上感应电荷密度。电势满足的边界条件27（0,0,d）点电荷q和（0,0,-d）点电荷-q，相距2d，在空间产生的电势为导体面上感应电荷

8、密度为28例2如图，半径为a的接地导体球外有一点电荷q，其与导体球心相距l(l＞a)，求导体外真空中的电势和导体球上的面电荷分布。解：以导体球心为原点建立球坐标，极轴通过点电荷q。边界条件是设象电荷q‘在极轴上，距原点l'＜a，同时撤掉导体球，q'与原电荷q在空间任一点p(r,,)产生的电势为29要求在r＝a的球面上满足边界条件：30上式要求对任意都成立，则有物理意义的解是31这样求出导体外任