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1、1.证明下列各题:(1)在上一致收敛;(2)在上一致收敛;(3)Ⅰ)在上一致收敛;Ⅱ)在上不一致收敛;(4)在上一致收敛;(5)在上一致收敛;分析：利用M判别法，关键在于不等式的适当放大。（3）题第Ⅱ)利用定理19.9证明:(1)由于对,有,而收敛,由M判别法知在上一致收敛;(2)由于对,有,且由M判别法知在上一致收敛;(3)Ⅰ)由于对,有,且收敛,由M判别法知在上一致收敛;Ⅱ)因为在不连续,而在,内连续,由连续性定理知在上不一致收敛;(4)由于对有,且收敛,由M判别法知在上一致收敛.(5)由于对有且收敛,所以由M判别法在上一致收敛.1
2、.从等式出发,计算积分分析：先证明在上一致收敛，再进行计算。解：由于当时,,,而收敛,故由M判别法知在上一致收敛,又因在内连续,所以2.证明函数在上连续.分析：证明中可利用公式=证令,得由于是的连续函数,从而变上限积分是的连续函数(实际上可微),故在上连续.1.求下列积分:分析：（1）中可利用公式=；（2）题由本节例5,易得。（3）题由可得结果。(1)(2)(3)解(1)因为,所以.易证含参量反常积分在上一致收敛,由于在上连续,由定理19.11知交换积分顺序,值不变,于是(2)由本节例5,易得上式=(3)由知易证含参量反常积分在上一致收
3、敛.由于在上连续,由定理19.11知交换积分顺序,值不变,于是由于原积分值是y的偶数,从而当时,以上结果也对,当时,显然这一计算结果也满足,故对任一都有原式=1.回答下列问题:(1)对极限能否施行极限与积分运算顺序的交换来求解?(2)对能否运用积分顺序交换来求解?(3)对能否运用积分与求导运算顺序交换来求解?分析：验证是否满足定理19.9、19.10、19.11的条件。解:(1)因为,因而,但,可见交换运算后不相等,这是由于在上不一致收敛(见第1题(3)),从而不符合定理19.9条件.(2)因为而所以积分顺序不能交换.由于,且对,对任一
4、,总有使得.因而在上不一致收敛,从而能应用定理19.11.(3)因为,,因此,但,而在处积分值为零.故积分与求导运算不能交换.这是由于因而在上不一致收敛,不符合定理19.10的条件,所以不能使用定理19.10.1.应用.证明(1);(2)分析：注意利用公式=证明:(1)(2)设,则所以,因此,有.2.应用,求.分析：利用的递推和分布积分公式。解:设,则.故.于是=.8.设为上连续非负函数,在上连续,证明在一致收敛.分析：（略）证：任取一个趋于的递增数列(其中)考察级数由已知在上,且连续,从而,且在上连续.由狄尼定理得级数在上一致收敛.由
5、及定理19.8推得在上一致收敛.9、设在内成立不等式若在上一致收敛,证明在上一致收敛且绝对收敛.分析：利用一致收敛的柯西准则即可证明。证：因为在上一致收敛,由柯西准则知,对任给正数,总存在莫一实数,使得当时,对一切,都有.又从而故在上绝对一致收敛.
