自动控制原理习题及其解答

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1、自动控制原理习题及其解答第一章（略）第二章例2-1弹簧，阻尼器串并联系统如图2-1示，系统为无质量模型，试建立系统的运动方程。解：(1)设输入为yr，输出为y0。弹簧与阻尼器并联平行移动。(2)列写原始方程式，由于无质量按受力平衡方程，各处任何时刻，均满足，则对于A点有其中，Ff为阻尼摩擦力，FK1，FK2为弹性恢复力。(3)写中间变量关系式(4)消中间变量得(5)化标准形其中:为时间常数，单位[秒]。为传递函数，无量纲。例2-2已知单摆系统的运动如图2-2示。(1)写出运动方程式(2)求取线性化方程解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆角q，摆球质量为m。（2）由牛顿定律写原始方程。图2-2

2、单摆运动其中，l为摆长，lq为运动弧长，h为空气阻力。（3）写中间变量关系式式中，α为空气阻力系数为运动线速度。（4）消中间变量得运动方程式（2-1)此方程为二阶非线性齐次方程。（5）线性化由前可知，在q＝0的附近，非线性函数sinq≈q，故代入式（2-1）可得线性化方程为例2-3已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。图2-3机械旋转系统解：（1）设输入量作用力矩Mf，输出为旋转角速度w。（2）列写运动方程式式中，fw为阻尼力矩，其大小与转速成正比。（3）整理成标准形为此为一阶线性微分方程，若输出变量改为q，则由于代入方程得二阶线性微分方程式例2-4设有一个倒立摆安装在马达传动车

3、上。如图2-4所示。图2-4倒立摆系统倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒，这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2-65所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程式。解：(1)设输入为作用力u，输出为摆角q。(2)写原始方程式，设摆杆重心A的坐标为（XA，yA）于是XA＝X＋lsinqXy=lcosq画出系统隔离体受力图如图2－5所示。图2-5隔离体受力图摆杆围绕重心A点转动方程为：（2－2）式中，J为摆杆围绕重心A的转动惯量。摆杆重心A沿X轴方向运动方程为：即（2－3）摆杆重心A沿y轴方向运动方程为：

4、即小车沿x轴方向运动方程为：方程（2－2），方程（2－3）为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有sinq和cosq项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。(3)当q很小时，可对方程组线性化，由sinq≈q，同理可得到cos≈1则方程式(2－2)式（2－3）可用线性化方程表示为：用的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量V、H、X得将微分算子还原后得此为二阶线性化偏量微分方程。例2-5RC无源网络电路图如图2－6所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数Uc(s)/Ur(s)。图2-6RC无源网络解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系，满足

5、广义的欧姆定律。即：如果二端元件是电阻R、电容C或电感L，则复阻抗Z(s)分别是R、1/Cs或Ls。(1)用复阻抗写电路方程式：(2)将以上四式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图2－6（a）。(3)用结构图化简法求传递函数的过程见图2－6（c）、(d)、(e)。（a）（b）（c）（d）图2-6RC无源网络结构图(1)用梅逊公式直接由图2－6(b)写出传递函数Uc(s)/Ur(s)。独立回路有三个：回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则由上式可写出特征式为：通向前路只有一条由于G1与所有回路L1，L2，L3都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为Δ1=1代入梅逊公式得传递函

6、数图2-8PI调节器例2-6有源网络如图2－7所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得的结果，直接用于图2－8所示PI调节器，写出传递函数。图2-7有源网络解：图2-7中Zi和Zf表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗，假设A点为虚地，即UA≈0，运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是：I1=I2则有：故传递函数为（2－4）对于由运算放大器构成的调节器，式（2－4）可看作计算传递函数的一般公式，对于图2-8所示PI调节器，有故例2-7求下列微分方程的时域解x（t）。已知。解：对方程两端取拉氏变换为：代入初始条件得到解出X（s）为：反变换得时域解为：图2-10系统结构图的简化

7、图2-9系统结构图例2-8已知系统结构图如图2-9所示，试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。解：（1）首先将含有G2的前向通路上的分支点前移，移到下面的回环之外。如图2-10（a）所示。（2）将反馈环和并连部分用代数方法化简，得图2-10（b）。（3）最后将两个方框串联相乘得图2-10（c）。例2-9已知系统结构图如图2-11所示，试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。图2-11系统结构图解